Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61070 / 57958
↖ ↑ ↗
← S 79.787010°
E155.467530°		 ← 108.30 m → S 79.787010°
E155.473022°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 79.787984°
E155.467530°		 ← 108.29 m →
11 729 m²		 S 79.787984°
E155.473022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931861877441406 y=0.884376525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931861877441406 × 216)
    floor (0.931861877441406 × 65536)
    floor (61070.5)     		tx = 61070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884376525878906 × 216)
    floor (0.884376525878906 × 65536)
    floor (57958.5)     		ty = 57958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61070 / 57958 ti = "16/61070/57958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61070/57958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61070 ÷ 216
    61070 ÷ 65536     		x = 0.931854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57958 ÷ 216
    57958 ÷ 65536     		y = 0.884368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931854248046875 × 2 - 1) × π
    0.86370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71342027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.76873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41506100285843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71342027} λ = 2.71342027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41506100285843))-π/2
    2×atan(0.0893618874249089)-π/2
    2×0.0891251528186998-π/2
    0.1782503056374-1.57079632675     		φ = -1.39254602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71342027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.467530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39254602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.787010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61070 KachelY 57958 2.71342027 -1.39254602 155.467530 -79.787010
    Oben rechts KachelX + 1 61071 KachelY 57958 2.71351614 -1.39254602 155.473022 -79.787010
    Unten links KachelX 61070 KachelY + 1 57959 2.71342027 -1.39256302 155.467530 -79.787984
    Unten rechts KachelX + 1 61071 KachelY + 1 57959 2.71351614 -1.39256302 155.473022 -79.787984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39254602--1.39256302) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39254602--1.39256302) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71342027-2.71351614) × cos(-1.39254602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177307875637151 × 6371000     		do = 108.297481963851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71342027-2.71351614) × cos(-1.39256302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177291144969162 × 6371000     		du = 108.287263076459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39254602)-sin(-1.39256302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177307875637151-0.177291144969162)×R²
    abs(2.71351614-2.71342027)×1.67306679894064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67306679894064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67306679894064e-05×40589641000000     		ar = 11728.8219909011m²