Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61070 / 41111
↖ ↑ ↗
← N 55.542619°
W 12.266235°		 ← 172.77 m → N 55.542619°
W 12.263489°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 55.541065°
W 12.266235°		 ← 172.78 m →
29 863 m²		 N 55.541065°
W 12.263489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465930938720703 y=0.313655853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465930938720703 × 217)
    floor (0.465930938720703 × 131072)
    floor (61070.5)     		tx = 61070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313655853271484 × 217)
    floor (0.313655853271484 × 131072)
    floor (41111.5)     		ty = 41111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61070 / 41111 ti = "17/61070/41111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61070/41111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61070 ÷ 217
    61070 ÷ 131072     		x = 0.465927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41111 ÷ 217
    41111 ÷ 131072     		y = 0.313652038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465927124023438 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21408619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313652038574219 × 2 - 1) × π
    0.372695922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.17085877321987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21408619} λ = -0.21408619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17085877321987))-π/2
    2×atan(3.22476078795727)-π/2
    2×1.27009895161267-π/2
    2.54019790322534-1.57079632675     		φ = 0.96940158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21408619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96940158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.542619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61070 KachelY 41111 -0.21408619 0.96940158 -12.266235 55.542619
    Oben rechts KachelX + 1 61071 KachelY 41111 -0.21403826 0.96940158 -12.263489 55.542619
    Unten links KachelX 61070 KachelY + 1 41112 -0.21408619 0.96937445 -12.266235 55.541065
    Unten rechts KachelX + 1 61071 KachelY + 1 41112 -0.21403826 0.96937445 -12.263489 55.541065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96940158-0.96937445) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96940158-0.96937445) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21408619--0.21403826) × cos(0.96940158) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.565793058020754 × 6371000     		do = 172.771716757131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21408619--0.21403826) × cos(0.96937445) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.565815427780212 × 6371000     		du = 172.77854763229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96940158)-sin(0.96937445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565793058020754-0.565815427780212)×R²
    abs(-0.21403826--0.21408619)×2.23697594573524e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23697594573524e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23697594573524e-05×40589641000000     		ar = 29863.357464273m²