Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61070 / 40752
↖ ↑ ↗
← N 56.096556°
W 12.266235°		 ← 170.33 m → N 56.096556°
W 12.263489°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
N 56.095024°
W 12.266235°		 ← 170.34 m →
29 018 m²		 N 56.095024°
W 12.263489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465930938720703 y=0.310916900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465930938720703 × 217)
    floor (0.465930938720703 × 131072)
    floor (61070.5)     		tx = 61070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310916900634766 × 217)
    floor (0.310916900634766 × 131072)
    floor (40752.5)     		ty = 40752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61070 / 40752 ti = "17/61070/40752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61070/40752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61070 ÷ 217
    61070 ÷ 131072     		x = 0.465927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40752 ÷ 217
    40752 ÷ 131072     		y = 0.3109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465927124023438 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21408619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3109130859375 × 2 - 1) × π
    0.378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18806812018347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21408619} λ = -0.21408619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18806812018347))-π/2
    2×atan(3.28073709155105)-π/2
    2×1.27493296182597-π/2
    2.54986592365193-1.57079632675     		φ = 0.97906960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21408619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97906960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.096556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61070 KachelY 40752 -0.21408619 0.97906960 -12.266235 56.096556
    Oben rechts KachelX + 1 61071 KachelY 40752 -0.21403826 0.97906960 -12.263489 56.096556
    Unten links KachelX 61070 KachelY + 1 40753 -0.21408619 0.97904286 -12.266235 56.095024
    Unten rechts KachelX + 1 61071 KachelY + 1 40753 -0.21403826 0.97904286 -12.263489 56.095024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97906960-0.97904286) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dl = 170.36054000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97906960-0.97904286) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dr = 170.36054000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21408619--0.21403826) × cos(0.97906960) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557795000316603 × 6371000     		do = 170.329413620534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21408619--0.21403826) × cos(0.97904286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557817193749152 × 6371000     		du = 170.33619065215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97906960)-sin(0.97904286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557795000316603-0.557817193749152)×R²
    abs(-0.21403826--0.21408619)×2.21934325490558e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21934325490558e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21934325490558e-05×40589641000000     		ar = 29017.9881535836m²