Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61070 / 34193
↖ ↑ ↗
← N 64.903745°
W 12.266235°		 ← 129.52 m → N 64.903745°
W 12.263489°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.902580°
W 12.266235°		 ← 129.52 m →
16 776 m²		 N 64.902580°
W 12.263489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465930938720703 y=0.260875701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465930938720703 × 217)
    floor (0.465930938720703 × 131072)
    floor (61070.5)     		tx = 61070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260875701904297 × 217)
    floor (0.260875701904297 × 131072)
    floor (34193.5)     		ty = 34193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61070 / 34193 ti = "17/61070/34193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61070/34193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61070 ÷ 217
    61070 ÷ 131072     		x = 0.465927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34193 ÷ 217
    34193 ÷ 131072     		y = 0.260871887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465927124023438 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21408619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260871887207031 × 2 - 1) × π
    0.478256225585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.50248624479142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21408619} λ = -0.21408619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50248624479142))-π/2
    2×atan(4.49284550951848)-π/2
    2×1.35179018815854-π/2
    2.70358037631709-1.57079632675     		φ = 1.13278405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21408619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13278405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.903745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61070 KachelY 34193 -0.21408619 1.13278405 -12.266235 64.903745
    Oben rechts KachelX + 1 61071 KachelY 34193 -0.21403826 1.13278405 -12.263489 64.903745
    Unten links KachelX 61070 KachelY + 1 34194 -0.21408619 1.13276372 -12.266235 64.902580
    Unten rechts KachelX + 1 61071 KachelY + 1 34194 -0.21403826 1.13276372 -12.263489 64.902580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13278405-1.13276372) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13278405-1.13276372) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21408619--0.21403826) × cos(1.13278405) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424140228922009 × 6371000     		do = 129.516321308294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21408619--0.21403826) × cos(1.13276372) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424158639611712 × 6371000     		du = 129.521943233875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13278405)-sin(1.13276372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424140228922009-0.424158639611712)×R²
    abs(-0.21403826--0.21408619)×1.84106897027636e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84106897027636e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84106897027636e-05×40589641000000     		ar = 16775.6327436612m²