Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6107 / 6332
↖ ↑ ↗
← S 69.595890°
E 88.374023°		 ← 1 703.62 m → S 69.595890°
E 88.417969°		 →
↑
1 702.97 m
↓
↑
1 702.97 m
↓
S 69.611205°
E 88.374023°		 ← 1 702.40 m →
2 900 174 m²		 S 69.611205°
E 88.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74554443359375 y=0.77301025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74554443359375 × 213)
    floor (0.74554443359375 × 8192)
    floor (6107.5)     		tx = 6107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77301025390625 × 213)
    floor (0.77301025390625 × 8192)
    floor (6332.5)     		ty = 6332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6107 / 6332 ti = "13/6107/6332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6107/6332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6107 ÷ 213
    6107 ÷ 8192     		x = 0.7454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6332 ÷ 213
    6332 ÷ 8192     		y = 0.77294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7454833984375 × 2 - 1) × π
    0.490966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54241768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54241768} λ = 1.54241768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71499052080713))-π/2
    2×atan(0.179965426632016)-π/2
    2×0.178059449683757-π/2
    0.356118899367515-1.57079632675     		φ = -1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54241768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.374023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6107 KachelY 6332 1.54241768 -1.21467743 88.374023 -69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 6108 KachelY 6332 1.54318467 -1.21467743 88.417969 -69.595890
    Unten links KachelX 6107 KachelY + 1 6333 1.54241768 -1.21494473 88.374023 -69.611205
    Unten rechts KachelX + 1 6108 KachelY + 1 6333 1.54318467 -1.21494473 88.417969 -69.611205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21467743--1.21494473) × R
    0.00026729999999997 × 6371000     		dl = 1702.96829999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21467743--1.21494473) × R
    0.00026729999999997 × 6371000     		dr = 1702.96829999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54241768-1.54318467) × cos(-1.21467743) × R
    0.000766990000000023 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 1703.62348812383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54241768-1.54318467) × cos(-1.21494473) × R
    0.000766990000000023 × 0.348388735844664 × 6371000     		du = 1702.39922001658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21467743)-sin(-1.21494473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348388735844664)×R²
    abs(1.54318467-1.54241768)×0.000250541243913271×R²
    0.000766990000000023×0.000250541243913271×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250541243913271×40589641000000     		ar = 2900174.36779171m²