Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61069 / 83055
↖ ↑ ↗
← S 43.291201°
W 12.268982°		 ← 222.31 m → S 43.291201°
W 12.266235°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
S 43.293200°
W 12.268982°		 ← 222.31 m →
49 416 m²		 S 43.293200°
W 12.266235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465923309326172 y=0.633663177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465923309326172 × 217)
    floor (0.465923309326172 × 131072)
    floor (61069.5)     		tx = 61069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633663177490234 × 217)
    floor (0.633663177490234 × 131072)
    floor (83055.5)     		ty = 83055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61069 / 83055 ti = "17/61069/83055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61069/83055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61069 ÷ 217
    61069 ÷ 131072     		x = 0.465919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83055 ÷ 217
    83055 ÷ 131072     		y = 0.633659362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465919494628906 × 2 - 1) × π
    -0.0681610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21413413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633659362792969 × 2 - 1) × π
    -0.267318725585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.839806544443764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21413413} λ = -0.21413413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839806544443764))-π/2
    2×atan(0.431794048307438)-π/2
    2×0.407611164627334-π/2
    0.815222329254669-1.57079632675     		φ = -0.75557400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21413413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.268982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75557400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.291201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61069 KachelY 83055 -0.21413413 -0.75557400 -12.268982 -43.291201
    Oben rechts KachelX + 1 61070 KachelY 83055 -0.21408619 -0.75557400 -12.266235 -43.291201
    Unten links KachelX 61069 KachelY + 1 83056 -0.21413413 -0.75560889 -12.268982 -43.293200
    Unten rechts KachelX + 1 61070 KachelY + 1 83056 -0.21408619 -0.75560889 -12.266235 -43.293200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75557400--0.75560889) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75557400--0.75560889) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21413413--0.21408619) × cos(-0.75557400) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727878067534484 × 6371000     		do = 222.312697406473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21413413--0.21408619) × cos(-0.75560889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727854142788759 × 6371000     		du = 222.305390173305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75557400)-sin(-0.75560889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727878067534484-0.727854142788759)×R²
    abs(-0.21408619--0.21413413)×2.39247457246572e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39247457246572e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39247457246572e-05×40589641000000     		ar = 49415.7857334121m²