Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61069 / 40387
↖ ↑ ↗
← N 56.651697°
W 12.268982°		 ← 167.90 m → N 56.651697°
W 12.266235°		 →
↑
167.88 m
↓
↑
167.88 m
↓
N 56.650187°
W 12.268982°		 ← 167.91 m →
28 187 m²		 N 56.650187°
W 12.266235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465923309326172 y=0.308132171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465923309326172 × 217)
    floor (0.465923309326172 × 131072)
    floor (61069.5)     		tx = 61069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308132171630859 × 217)
    floor (0.308132171630859 × 131072)
    floor (40387.5)     		ty = 40387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61069 / 40387 ti = "17/61069/40387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61069/40387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61069 ÷ 217
    61069 ÷ 131072     		x = 0.465919494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40387 ÷ 217
    40387 ÷ 131072     		y = 0.308128356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465919494628906 × 2 - 1) × π
    -0.0681610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21413413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308128356933594 × 2 - 1) × π
    0.383743286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.20556508854479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21413413} λ = -0.21413413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20556508854479))-π/2
    2×atan(3.33864517525493)-π/2
    2×1.27977748446621-π/2
    2.55955496893241-1.57079632675     		φ = 0.98875864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21413413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.268982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98875864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.651697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61069 KachelY 40387 -0.21413413 0.98875864 -12.268982 56.651697
    Oben rechts KachelX + 1 61070 KachelY 40387 -0.21408619 0.98875864 -12.266235 56.651697
    Unten links KachelX 61069 KachelY + 1 40388 -0.21413413 0.98873229 -12.268982 56.650187
    Unten rechts KachelX + 1 61070 KachelY + 1 40388 -0.21408619 0.98873229 -12.266235 56.650187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98875864-0.98873229) × R
    2.63500000000638e-05 × 6371000     		dl = 167.875850000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98875864-0.98873229) × R
    2.63500000000638e-05 × 6371000     		dr = 167.875850000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21413413--0.21408619) × cos(0.98875864) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549727246765315 × 6371000     		do = 167.900851141446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21413413--0.21408619) × cos(0.98873229) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549749257894481 × 6371000     		du = 167.90757390686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98875864)-sin(0.98873229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549727246765315-0.549749257894481)×R²
    abs(-0.21408619--0.21413413)×2.20111291656666e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20111291656666e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20111291656666e-05×40589641000000     		ar = 28187.062397857m²