Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61068 / 83034
↖ ↑ ↗
← S 43.249204°
W 12.271729°		 ← 222.47 m → S 43.249204°
W 12.268982°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 43.251204°
W 12.271729°		 ← 222.46 m →
49 478 m²		 S 43.251204°
W 12.268982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465915679931641 y=0.633502960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465915679931641 × 217)
    floor (0.465915679931641 × 131072)
    floor (61068.5)     		tx = 61068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633502960205078 × 217)
    floor (0.633502960205078 × 131072)
    floor (83034.5)     		ty = 83034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61068 / 83034 ti = "17/61068/83034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61068/83034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61068 ÷ 217
    61068 ÷ 131072     		x = 0.465911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83034 ÷ 217
    83034 ÷ 131072     		y = 0.633499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.06817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21418207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633499145507812 × 2 - 1) × π
    -0.266998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.838799869551743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21418207} λ = -0.21418207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838799869551743))-π/2
    2×atan(0.43222894339665)-π/2
    2×0.407977659361001-π/2
    0.815955318722003-1.57079632675     		φ = -0.75484101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21418207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75484101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.249204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61068 KachelY 83034 -0.21418207 -0.75484101 -12.271729 -43.249204
    Oben rechts KachelX + 1 61069 KachelY 83034 -0.21413413 -0.75484101 -12.268982 -43.249204
    Unten links KachelX 61068 KachelY + 1 83035 -0.21418207 -0.75487592 -12.271729 -43.251204
    Unten rechts KachelX + 1 61069 KachelY + 1 83035 -0.21413413 -0.75487592 -12.268982 -43.251204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75484101--0.75487592) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75484101--0.75487592) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21418207--0.21413413) × cos(-0.75484101) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7283804880231 × 6371000     		do = 222.466149555999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21418207--0.21413413) × cos(-0.75487592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.728356568194298 × 6371000     		du = 222.458843824587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75484101)-sin(-0.75487592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7283804880231-0.728356568194298)×R²
    abs(-0.21413413--0.21418207)×2.39198288018994e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39198288018994e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39198288018994e-05×40589641000000     		ar = 49478.2420585217m²