Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61068 / 57968
↖ ↑ ↗
← S 79.796745°
E155.456543°		 ← 108.20 m → S 79.796745°
E155.462036°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
S 79.797718°
E155.456543°		 ← 108.19 m →
11 711 m²		 S 79.797718°
E155.462036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931831359863281 y=0.884529113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931831359863281 × 216)
    floor (0.931831359863281 × 65536)
    floor (61068.5)     		tx = 61068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884529113769531 × 216)
    floor (0.884529113769531 × 65536)
    floor (57968.5)     		ty = 57968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61068 / 57968 ti = "16/61068/57968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61068/57968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61068 ÷ 216
    61068 ÷ 65536     		x = 0.93182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57968 ÷ 216
    57968 ÷ 65536     		y = 0.884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93182373046875 × 2 - 1) × π
    0.8636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71322852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.76904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71322852} λ = 2.71322852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41601974085083))-π/2
    2×atan(0.0892762538450046)-π/2
    2×0.0890401970075043-π/2
    0.178080394015009-1.57079632675     		φ = -1.39271593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71322852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39271593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.796745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61068 KachelY 57968 2.71322852 -1.39271593 155.456543 -79.796745
    Oben rechts KachelX + 1 61069 KachelY 57968 2.71332439 -1.39271593 155.462036 -79.796745
    Unten links KachelX 61068 KachelY + 1 57969 2.71322852 -1.39273292 155.456543 -79.797718
    Unten rechts KachelX + 1 61069 KachelY + 1 57969 2.71332439 -1.39273292 155.462036 -79.797718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39271593--1.39273292) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39271593--1.39273292) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71322852-2.71332439) × cos(-1.39271593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177140655228867 × 6371000     		do = 108.195345783576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71322852-2.71332439) × cos(-1.39273292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177123933890881 × 6371000     		du = 108.185132594836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39271593)-sin(-1.39273292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177140655228867-0.177123933890881)×R²
    abs(2.71332439-2.71322852)×1.67213379864695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67213379864695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67213379864695e-05×40589641000000     		ar = 11710.8674358826m²