Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61068 / 57959
↖ ↑ ↗
← S 79.787984°
E155.456543°		 ← 108.29 m → S 79.787984°
E155.462036°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 79.788958°
E155.456543°		 ← 108.28 m →
11 728 m²		 S 79.788958°
E155.462036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931831359863281 y=0.884391784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931831359863281 × 216)
    floor (0.931831359863281 × 65536)
    floor (61068.5)     		tx = 61068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884391784667969 × 216)
    floor (0.884391784667969 × 65536)
    floor (57959.5)     		ty = 57959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61068 / 57959 ti = "16/61068/57959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61068/57959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61068 ÷ 216
    61068 ÷ 65536     		x = 0.93182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57959 ÷ 216
    57959 ÷ 65536     		y = 0.884384155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93182373046875 × 2 - 1) × π
    0.8636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71322852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884384155273438 × 2 - 1) × π
    -0.768768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41515687665767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71322852} λ = 2.71322852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41515687665767))-π/2
    2×atan(0.0893533203719387)-π/2
    2×0.0891166536298941-π/2
    0.178233307259788-1.57079632675     		φ = -1.39256302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71322852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39256302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.787984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61068 KachelY 57959 2.71322852 -1.39256302 155.456543 -79.787984
    Oben rechts KachelX + 1 61069 KachelY 57959 2.71332439 -1.39256302 155.462036 -79.787984
    Unten links KachelX 61068 KachelY + 1 57960 2.71322852 -1.39258002 155.456543 -79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 61069 KachelY + 1 57960 2.71332439 -1.39258002 155.462036 -79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39256302--1.39258002) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39256302--1.39258002) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71322852-2.71332439) × cos(-1.39256302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177291144969162 × 6371000     		do = 108.287263076459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71322852-2.71332439) × cos(-1.39258002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 108.277044157772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39256302)-sin(-1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177291144969162-0.177274414249936)×R²
    abs(2.71332439-2.71322852)×1.67307192263377e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67307192263377e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67307192263377e-05×40589641000000     		ar = 11727.7152120603m²