Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61068 / 34211
↖ ↑ ↗
← N 64.882768°
W 12.271729°		 ← 129.64 m → N 64.882768°
W 12.268982°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 64.881602°
W 12.271729°		 ← 129.65 m →
16 809 m²		 N 64.881602°
W 12.268982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465915679931641 y=0.261013031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465915679931641 × 217)
    floor (0.465915679931641 × 131072)
    floor (61068.5)     		tx = 61068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261013031005859 × 217)
    floor (0.261013031005859 × 131072)
    floor (34211.5)     		ty = 34211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61068 / 34211 ti = "17/61068/34211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61068/34211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61068 ÷ 217
    61068 ÷ 131072     		x = 0.465911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34211 ÷ 217
    34211 ÷ 131072     		y = 0.261009216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.06817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21418207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261009216308594 × 2 - 1) × π
    0.477981567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50162338059826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21418207} λ = -0.21418207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50162338059826))-π/2
    2×atan(4.48897046606146)-π/2
    2×1.35160712894169-π/2
    2.70321425788338-1.57079632675     		φ = 1.13241793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21418207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13241793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.882768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61068 KachelY 34211 -0.21418207 1.13241793 -12.271729 64.882768
    Oben rechts KachelX + 1 61069 KachelY 34211 -0.21413413 1.13241793 -12.268982 64.882768
    Unten links KachelX 61068 KachelY + 1 34212 -0.21418207 1.13239758 -12.271729 64.881602
    Unten rechts KachelX + 1 61069 KachelY + 1 34212 -0.21413413 1.13239758 -12.268982 64.881602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13241793-1.13239758) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13241793-1.13239758) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21418207--0.21413413) × cos(1.13241793) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424471757487663 × 6371000     		do = 129.64460063976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21418207--0.21413413) × cos(1.13239758) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424490183127746 × 6371000     		du = 129.650228304517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13241793)-sin(1.13239758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424471757487663-0.424490183127746)×R²
    abs(-0.21413413--0.21418207)×1.84256400825311e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84256400825311e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84256400825311e-05×40589641000000     		ar = 16808.767839862m²