Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61068 / 34182
↖ ↑ ↗
← N 64.916557°
W 12.271729°		 ← 129.48 m → N 64.916557°
W 12.268982°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.915392°
W 12.271729°		 ← 129.49 m →
16 763 m²		 N 64.915392°
W 12.268982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465915679931641 y=0.260791778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465915679931641 × 217)
    floor (0.465915679931641 × 131072)
    floor (61068.5)     		tx = 61068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260791778564453 × 217)
    floor (0.260791778564453 × 131072)
    floor (34182.5)     		ty = 34182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61068 / 34182 ti = "17/61068/34182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61068/34182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61068 ÷ 217
    61068 ÷ 131072     		x = 0.465911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34182 ÷ 217
    34182 ÷ 131072     		y = 0.260787963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.06817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21418207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260787963867188 × 2 - 1) × π
    0.478424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50301355068724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21418207} λ = -0.21418207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50301355068724))-π/2
    2×atan(4.4952152381757)-π/2
    2×1.35190198728377-π/2
    2.70380397456754-1.57079632675     		φ = 1.13300765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21418207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13300765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.916557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61068 KachelY 34182 -0.21418207 1.13300765 -12.271729 64.916557
    Oben rechts KachelX + 1 61069 KachelY 34182 -0.21413413 1.13300765 -12.268982 64.916557
    Unten links KachelX 61068 KachelY + 1 34183 -0.21418207 1.13298733 -12.271729 64.915392
    Unten rechts KachelX + 1 61069 KachelY + 1 34183 -0.21413413 1.13298733 -12.268982 64.915392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13300765-1.13298733) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13300765-1.13298733) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21418207--0.21413413) × cos(1.13300765) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423937726937831 × 6371000     		do = 129.481493963895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21418207--0.21413413) × cos(1.13298733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42395613049834 × 6371000     		du = 129.487114884982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13300765)-sin(1.13298733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423937726937831-0.42395613049834)×R²
    abs(-0.21413413--0.21418207)×1.84035605087507e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84035605087507e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84035605087507e-05×40589641000000     		ar = 16762.8723114586m²