Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61067 / 83087
↖ ↑ ↗
← S 43.355141°
W 12.274475°		 ← 222.03 m → S 43.355141°
W 12.271729°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
S 43.357138°
W 12.274475°		 ← 222.03 m →
49 311 m²		 S 43.357138°
W 12.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465908050537109 y=0.633907318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465908050537109 × 217)
    floor (0.465908050537109 × 131072)
    floor (61067.5)     		tx = 61067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633907318115234 × 217)
    floor (0.633907318115234 × 131072)
    floor (83087.5)     		ty = 83087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61067 / 83087 ti = "17/61067/83087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61067/83087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61067 ÷ 217
    61067 ÷ 131072     		x = 0.465904235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83087 ÷ 217
    83087 ÷ 131072     		y = 0.633903503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465904235839844 × 2 - 1) × π
    -0.0681915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21423000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633903503417969 × 2 - 1) × π
    -0.267807006835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.841340525231606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21423000} λ = -0.21423000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841340525231606))-π/2
    2×atan(0.431132192300014)-π/2
    2×0.407053182767251-π/2
    0.814106365534502-1.57079632675     		φ = -0.75668996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21423000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.274475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75668996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.355141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61067 KachelY 83087 -0.21423000 -0.75668996 -12.274475 -43.355141
    Oben rechts KachelX + 1 61068 KachelY 83087 -0.21418207 -0.75668996 -12.271729 -43.355141
    Unten links KachelX 61067 KachelY + 1 83088 -0.21423000 -0.75672482 -12.274475 -43.357138
    Unten rechts KachelX + 1 61068 KachelY + 1 83088 -0.21418207 -0.75672482 -12.271729 -43.357138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75668996--0.75672482) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75668996--0.75672482) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21423000--0.21418207) × cos(-0.75668996) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.727112393336758 × 6371000     		do = 222.032516467478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21423000--0.21418207) × cos(-0.75672482) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.727088460862169 × 6371000     		du = 222.025208398455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75668996)-sin(-0.75672482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727112393336758-0.727088460862169)×R²
    abs(-0.21418207--0.21423000)×2.39324745886504e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39324745886504e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39324745886504e-05×40589641000000     		ar = 49311.0694710865m²