Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61067 / 57962
↖ ↑ ↗
← S 79.790905°
E155.451050°		 ← 108.27 m → S 79.790905°
E155.456543°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
S 79.791879°
E155.451050°		 ← 108.26 m →
11 719 m²		 S 79.791879°
E155.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931816101074219 y=0.884437561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931816101074219 × 216)
    floor (0.931816101074219 × 65536)
    floor (61067.5)     		tx = 61067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884437561035156 × 216)
    floor (0.884437561035156 × 65536)
    floor (57962.5)     		ty = 57962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61067 / 57962 ti = "16/61067/57962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61067/57962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61067 ÷ 216
    61067 ÷ 65536     		x = 0.931808471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57962 ÷ 216
    57962 ÷ 65536     		y = 0.884429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931808471679688 × 2 - 1) × π
    0.863616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71313264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.76885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41544449805539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71313264} λ = 2.71313264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41544449805539))-π/2
    2×atan(0.0893276241406125)-π/2
    2×0.0890911608746036-π/2
    0.178182321749207-1.57079632675     		φ = -1.39261401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71313264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.451050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39261401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.790905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61067 KachelY 57962 2.71313264 -1.39261401 155.451050 -79.790905
    Oben rechts KachelX + 1 61068 KachelY 57962 2.71322852 -1.39261401 155.456543 -79.790905
    Unten links KachelX 61067 KachelY + 1 57963 2.71313264 -1.39263100 155.451050 -79.791879
    Unten rechts KachelX + 1 61068 KachelY + 1 57963 2.71322852 -1.39263100 155.456543 -79.791879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39261401--1.39263100) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39261401--1.39263100) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71313264-2.71322852) × cos(-1.39261401) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177240962499466 × 6371000     		do = 108.267904259352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71313264-2.71322852) × cos(-1.39263100) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177224241468292 × 6371000     		du = 108.257690192713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39261401)-sin(-1.39263100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177240962499466-0.177224241468292)×R²
    abs(2.71322852-2.71313264)×1.67210311736721e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67210311736721e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67210311736721e-05×40589641000000     		ar = 11718.7213567893m²