Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61067 / 34189
↖ ↑ ↗
← N 64.908404°
W 12.274475°		 ← 129.49 m → N 64.908404°
W 12.271729°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.907240°
W 12.274475°		 ← 129.50 m →
16 773 m²		 N 64.907240°
W 12.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465908050537109 y=0.260845184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465908050537109 × 217)
    floor (0.465908050537109 × 131072)
    floor (61067.5)     		tx = 61067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260845184326172 × 217)
    floor (0.260845184326172 × 131072)
    floor (34189.5)     		ty = 34189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61067 / 34189 ti = "17/61067/34189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61067/34189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61067 ÷ 217
    61067 ÷ 131072     		x = 0.465904235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34189 ÷ 217
    34189 ÷ 131072     		y = 0.260841369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465904235839844 × 2 - 1) × π
    -0.0681915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21423000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260841369628906 × 2 - 1) × π
    0.478317260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.5026779923899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21423000} λ = -0.21423000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5026779923899))-π/2
    2×atan(4.4937070844551)-π/2
    2×1.35183084856334-π/2
    2.70366169712668-1.57079632675     		φ = 1.13286537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21423000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.274475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13286537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.908404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61067 KachelY 34189 -0.21423000 1.13286537 -12.274475 64.908404
    Oben rechts KachelX + 1 61068 KachelY 34189 -0.21418207 1.13286537 -12.271729 64.908404
    Unten links KachelX 61067 KachelY + 1 34190 -0.21423000 1.13284504 -12.274475 64.907240
    Unten rechts KachelX + 1 61068 KachelY + 1 34190 -0.21418207 1.13284504 -12.271729 64.907240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13286537-1.13284504) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13286537-1.13284504) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21423000--0.21418207) × cos(1.13286537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424066584410264 × 6371000     		do = 129.493833070689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21423000--0.21418207) × cos(1.13284504) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424084995801125 × 6371000     		du = 129.499455210377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13286537)-sin(1.13284504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424066584410264-0.424084995801125)×R²
    abs(-0.21418207--0.21423000)×1.84113908608396e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84113908608396e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84113908608396e-05×40589641000000     		ar = 16772.7200265167m²