Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61066 / 34490
↖ ↑ ↗
← N 64.555521°
W 12.277222°		 ← 131.22 m → N 64.555521°
W 12.274475°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 64.554341°
W 12.277222°		 ← 131.23 m →
17 222 m²		 N 64.554341°
W 12.274475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465900421142578 y=0.263141632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465900421142578 × 217)
    floor (0.465900421142578 × 131072)
    floor (61066.5)     		tx = 61066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263141632080078 × 217)
    floor (0.263141632080078 × 131072)
    floor (34490.5)     		ty = 34490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61066 / 34490 ti = "17/61066/34490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61066/34490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61066 ÷ 217
    61066 ÷ 131072     		x = 0.465896606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34490 ÷ 217
    34490 ÷ 131072     		y = 0.263137817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465896606445312 × 2 - 1) × π
    -0.068206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21427794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263137817382812 × 2 - 1) × π
    0.473724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48824898560426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21427794} λ = -0.21427794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48824898560426))-π/2
    2×atan(4.42933289908762)-π/2
    2×1.34875136147546-π/2
    2.69750272295093-1.57079632675     		φ = 1.12670640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21427794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12670640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.555521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61066 KachelY 34490 -0.21427794 1.12670640 -12.277222 64.555521
    Oben rechts KachelX + 1 61067 KachelY 34490 -0.21423000 1.12670640 -12.274475 64.555521
    Unten links KachelX 61066 KachelY + 1 34491 -0.21427794 1.12668580 -12.277222 64.554341
    Unten rechts KachelX + 1 61067 KachelY + 1 34491 -0.21423000 1.12668580 -12.274475 64.554341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12670640-1.12668580) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12670640-1.12668580) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21427794--0.21423000) × cos(1.12670640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429636260373332 × 6371000     		do = 131.221972755348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21427794--0.21423000) × cos(1.12668580) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429654862124189 × 6371000     		du = 131.227654208868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12670640)-sin(1.12668580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429636260373332-0.429654862124189)×R²
    abs(-0.21423000--0.21427794)×1.86017508571057e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86017508571057e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86017508571057e-05×40589641000000     		ar = 17222.285706533m²