Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61065 / 57961
↖ ↑ ↗
← S 79.789931°
E155.440064°		 ← 108.27 m → S 79.789931°
E155.445557°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 79.790905°
E155.440064°		 ← 108.26 m →
11 726 m²		 S 79.790905°
E155.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931785583496094 y=0.884422302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931785583496094 × 216)
    floor (0.931785583496094 × 65536)
    floor (61065.5)     		tx = 61065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884422302246094 × 216)
    floor (0.884422302246094 × 65536)
    floor (57961.5)     		ty = 57961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61065 / 57961 ti = "16/61065/57961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61065/57961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61065 ÷ 216
    61065 ÷ 65536     		x = 0.931777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57961 ÷ 216
    57961 ÷ 65536     		y = 0.884414672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931777954101562 × 2 - 1) × π
    0.863555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71294090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884414672851562 × 2 - 1) × π
    -0.768829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41534862425615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71294090} λ = 2.71294090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41534862425615))-π/2
    2×atan(0.0893361887298693)-π/2
    2×0.0890996576579193-π/2
    0.178199315315839-1.57079632675     		φ = -1.39259701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71294090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.440064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39259701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.789931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61065 KachelY 57961 2.71294090 -1.39259701 155.440064 -79.789931
    Oben rechts KachelX + 1 61066 KachelY 57961 2.71303677 -1.39259701 155.445557 -79.789931
    Unten links KachelX 61065 KachelY + 1 57962 2.71294090 -1.39261401 155.440064 -79.790905
    Unten rechts KachelX + 1 61066 KachelY + 1 57962 2.71303677 -1.39261401 155.445557 -79.790905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39259701--1.39261401) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39259701--1.39261401) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71294090-2.71303677) × cos(-1.39259701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177257693321122 × 6371000     		do = 108.266831218949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71294090-2.71303677) × cos(-1.39261401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177240962499466 × 6371000     		du = 108.2566122377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39259701)-sin(-1.39261401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177257693321122-0.177240962499466)×R²
    abs(2.71303677-2.71294090)×1.67308216559581e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67308216559581e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67308216559581e-05×40589641000000     		ar = 11725.5022950707m²