Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61065 / 57866
↖ ↑ ↗
← S 79.697014°
E155.440064°		 ← 109.24 m → S 79.697014°
E155.445557°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 79.697996°
E155.440064°		 ← 109.23 m →
11 935 m²		 S 79.697996°
E155.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931785583496094 y=0.882972717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931785583496094 × 216)
    floor (0.931785583496094 × 65536)
    floor (61065.5)     		tx = 61065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882972717285156 × 216)
    floor (0.882972717285156 × 65536)
    floor (57866.5)     		ty = 57866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61065 / 57866 ti = "16/61065/57866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61065/57866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61065 ÷ 216
    61065 ÷ 65536     		x = 0.931777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57866 ÷ 216
    57866 ÷ 65536     		y = 0.882965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931777954101562 × 2 - 1) × π
    0.863555908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71294090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.76593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40624061332834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71294090} λ = 2.71294090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40624061332834))-π/2
    2×atan(0.0901535804689036)-π/2
    2×0.0899105185625075-π/2
    0.179821037125015-1.57079632675     		φ = -1.39097529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71294090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.440064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39097529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.697014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61065 KachelY 57866 2.71294090 -1.39097529 155.440064 -79.697014
    Oben rechts KachelX + 1 61066 KachelY 57866 2.71303677 -1.39097529 155.445557 -79.697014
    Unten links KachelX 61065 KachelY + 1 57867 2.71294090 -1.39099244 155.440064 -79.697996
    Unten rechts KachelX + 1 61066 KachelY + 1 57867 2.71303677 -1.39099244 155.445557 -79.697996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39097529--1.39099244) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39097529--1.39099244) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71294090-2.71303677) × cos(-1.39097529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178853498739218 × 6371000     		do = 109.241529651622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71294090-2.71303677) × cos(-1.39099244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178836625244374 × 6371000     		du = 109.231223527335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39097529)-sin(-1.39099244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178853498739218-0.178836625244374)×R²
    abs(2.71303677-2.71294090)×1.68734948435834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68734948435834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68734948435834e-05×40589641000000     		ar = 11935.4559826355m²