Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61065 / 41113
↖ ↑ ↗
← N 55.539511°
W 12.279968°		 ← 172.82 m → N 55.539511°
W 12.277222°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 55.537956°
W 12.279968°		 ← 172.83 m →
29 872 m²		 N 55.537956°
W 12.277222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465892791748047 y=0.313671112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465892791748047 × 217)
    floor (0.465892791748047 × 131072)
    floor (61065.5)     		tx = 61065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313671112060547 × 217)
    floor (0.313671112060547 × 131072)
    floor (41113.5)     		ty = 41113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61065 / 41113 ti = "17/61065/41113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61065/41113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61065 ÷ 217
    61065 ÷ 131072     		x = 0.465888977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41113 ÷ 217
    41113 ÷ 131072     		y = 0.313667297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465888977050781 × 2 - 1) × π
    -0.0682220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21432588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313667297363281 × 2 - 1) × π
    0.372665405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.17076289942063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21432588} λ = -0.21432588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17076289942063))-π/2
    2×atan(3.22445163270907)-π/2
    2×1.27007182817544-π/2
    2.54014365635088-1.57079632675     		φ = 0.96934733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21432588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.279968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96934733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.539511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61065 KachelY 41113 -0.21432588 0.96934733 -12.279968 55.539511
    Oben rechts KachelX + 1 61066 KachelY 41113 -0.21427794 0.96934733 -12.277222 55.539511
    Unten links KachelX 61065 KachelY + 1 41114 -0.21432588 0.96932020 -12.279968 55.537956
    Unten rechts KachelX + 1 61066 KachelY + 1 41114 -0.21427794 0.96932020 -12.277222 55.537956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96934733-0.96932020) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96934733-0.96932020) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21432588--0.21427794) × cos(0.96934733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565837788878042 × 6371000     		do = 172.821425388026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21432588--0.21427794) × cos(0.96932020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565860157804714 × 6371000     		du = 172.828257434008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96934733)-sin(0.96932020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565837788878042-0.565860157804714)×R²
    abs(-0.21427794--0.21432588)×2.23689266724003e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23689266724003e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23689266724003e-05×40589641000000     		ar = 29871.9494651312m²