Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61065 / 34190
↖ ↑ ↗
← N 64.907240°
W 12.279968°		 ← 129.53 m → N 64.907240°
W 12.277222°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.906075°
W 12.279968°		 ← 129.53 m →
16 777 m²		 N 64.906075°
W 12.277222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465892791748047 y=0.260852813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465892791748047 × 217)
    floor (0.465892791748047 × 131072)
    floor (61065.5)     		tx = 61065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260852813720703 × 217)
    floor (0.260852813720703 × 131072)
    floor (34190.5)     		ty = 34190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61065 / 34190 ti = "17/61065/34190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61065/34190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61065 ÷ 217
    61065 ÷ 131072     		x = 0.465888977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34190 ÷ 217
    34190 ÷ 131072     		y = 0.260848999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465888977050781 × 2 - 1) × π
    -0.0682220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21432588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260848999023438 × 2 - 1) × π
    0.478302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50263005549028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21432588} λ = -0.21432588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50263005549028))-π/2
    2×atan(4.49349167523273)-π/2
    2×1.35182068412407-π/2
    2.70364136824814-1.57079632675     		φ = 1.13284504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21432588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.279968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13284504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.907240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61065 KachelY 34190 -0.21432588 1.13284504 -12.279968 64.907240
    Oben rechts KachelX + 1 61066 KachelY 34190 -0.21427794 1.13284504 -12.277222 64.907240
    Unten links KachelX 61065 KachelY + 1 34191 -0.21432588 1.13282471 -12.279968 64.906075
    Unten rechts KachelX + 1 61066 KachelY + 1 34191 -0.21427794 1.13282471 -12.277222 64.906075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13284504-1.13282471) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dl = 129.522430000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13284504-1.13282471) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dr = 129.522430000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21432588--0.21427794) × cos(1.13284504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424084995801125 × 6371000     		do = 129.526473665446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21432588--0.21427794) × cos(1.13282471) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424103407016708 × 6371000     		du = 129.532096924589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13284504)-sin(1.13282471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424084995801125-0.424103407016708)×R²
    abs(-0.21427794--0.21432588)×1.84112155829363e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84112155829363e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84112155829363e-05×40589641000000     		ar = 16776.9477881973m²