Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61064 / 57864
↖ ↑ ↗
← S 79.695048°
E155.434570°		 ← 109.27 m → S 79.695048°
E155.440064°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 79.696031°
E155.434570°		 ← 109.26 m →
11 939 m²		 S 79.696031°
E155.440064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931770324707031 y=0.882942199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931770324707031 × 216)
    floor (0.931770324707031 × 65536)
    floor (61064.5)     		tx = 61064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882942199707031 × 216)
    floor (0.882942199707031 × 65536)
    floor (57864.5)     		ty = 57864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61064 / 57864 ti = "16/61064/57864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61064/57864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61064 ÷ 216
    61064 ÷ 65536     		x = 0.9317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57864 ÷ 216
    57864 ÷ 65536     		y = 0.8829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9317626953125 × 2 - 1) × π
    0.863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71284502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40604886572986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71284502} λ = 2.71284502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40604886572986))-π/2
    2×atan(0.0901708688589036)-π/2
    2×0.0899276675445434-π/2
    0.179855335089087-1.57079632675     		φ = -1.39094099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71284502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39094099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.695048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61064 KachelY 57864 2.71284502 -1.39094099 155.434570 -79.695048
    Oben rechts KachelX + 1 61065 KachelY 57864 2.71294090 -1.39094099 155.440064 -79.695048
    Unten links KachelX 61064 KachelY + 1 57865 2.71284502 -1.39095814 155.434570 -79.696031
    Unten rechts KachelX + 1 61065 KachelY + 1 57865 2.71294090 -1.39095814 155.440064 -79.696031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39094099--1.39095814) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39094099--1.39095814) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71284502-2.71294090) × cos(-1.39094099) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178887245571085 × 6371000     		do = 109.273538710149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71284502-2.71294090) × cos(-1.39095814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178870372181457 × 6371000     		du = 109.263231575122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39094099)-sin(-1.39095814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178887245571085-0.178870372181457)×R²
    abs(2.71294090-2.71284502)×1.68733896289408e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68733896289408e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68733896289408e-05×40589641000000     		ar = 11938.953322299m²