Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61064 / 41112
↖ ↑ ↗
← N 55.541065°
W 12.282715°		 ← 172.81 m → N 55.541065°
W 12.279968°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
N 55.539511°
W 12.282715°		 ← 172.82 m →
29 860 m²		 N 55.539511°
W 12.279968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465885162353516 y=0.313663482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465885162353516 × 217)
    floor (0.465885162353516 × 131072)
    floor (61064.5)     		tx = 61064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313663482666016 × 217)
    floor (0.313663482666016 × 131072)
    floor (41112.5)     		ty = 41112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61064 / 41112 ti = "17/61064/41112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61064/41112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61064 ÷ 217
    61064 ÷ 131072     		x = 0.46588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41112 ÷ 217
    41112 ÷ 131072     		y = 0.31365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21437382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31365966796875 × 2 - 1) × π
    0.3726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17081083632025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21437382} λ = -0.21437382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17081083632025))-π/2
    2×atan(3.22460620662818)-π/2
    2×1.27008539016207-π/2
    2.54017078032414-1.57079632675     		φ = 0.96937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21437382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.541065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61064 KachelY 41112 -0.21437382 0.96937445 -12.282715 55.541065
    Oben rechts KachelX + 1 61065 KachelY 41112 -0.21432588 0.96937445 -12.279968 55.541065
    Unten links KachelX 61064 KachelY + 1 41113 -0.21437382 0.96934733 -12.282715 55.539511
    Unten rechts KachelX + 1 61065 KachelY + 1 41113 -0.21432588 0.96934733 -12.279968 55.539511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96937445-0.96934733) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dl = 172.7815200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96937445-0.96934733) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dr = 172.7815200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21437382--0.21432588) × cos(0.96937445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565815427780212 × 6371000     		do = 172.814595733174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21437382--0.21432588) × cos(0.96934733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565837788878042 × 6371000     		du = 172.821425388026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96937445)-sin(0.96934733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565815427780212-0.565837788878042)×R²
    abs(-0.21432588--0.21437382)×2.23610978304922e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23610978304922e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23610978304922e-05×40589641000000     		ar = 29859.7585500543m²