Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61063 / 40377
↖ ↑ ↗
← N 56.666793°
W 12.285461°		 ← 167.80 m → N 56.666793°
W 12.282715°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.665284°
W 12.285461°		 ← 167.81 m →
28 159 m²		 N 56.665284°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465877532958984 y=0.308055877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465877532958984 × 217)
    floor (0.465877532958984 × 131072)
    floor (61063.5)     		tx = 61063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308055877685547 × 217)
    floor (0.308055877685547 × 131072)
    floor (40377.5)     		ty = 40377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61063 / 40377 ti = "17/61063/40377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61063/40377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61063 ÷ 217
    61063 ÷ 131072     		x = 0.465873718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40377 ÷ 217
    40377 ÷ 131072     		y = 0.308052062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465873718261719 × 2 - 1) × π
    -0.0682525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21442175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308052062988281 × 2 - 1) × π
    0.383895874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.20604445754099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21442175} λ = -0.21442175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20604445754099))-π/2
    2×atan(3.34024600190394)-π/2
    2×1.27990921918593-π/2
    2.55981843837185-1.57079632675     		φ = 0.98902211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21442175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.285461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98902211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.666793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61063 KachelY 40377 -0.21442175 0.98902211 -12.285461 56.666793
    Oben rechts KachelX + 1 61064 KachelY 40377 -0.21437382 0.98902211 -12.282715 56.666793
    Unten links KachelX 61063 KachelY + 1 40378 -0.21442175 0.98899577 -12.285461 56.665284
    Unten rechts KachelX + 1 61064 KachelY + 1 40378 -0.21437382 0.98899577 -12.282715 56.665284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98902211-0.98899577) × R
    2.63399999999026e-05 × 6371000     		dl = 167.812139999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98902211-0.98899577) × R
    2.63399999999026e-05 × 6371000     		dr = 167.812139999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21442175--0.21437382) × cos(0.98902211) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549507139548012 × 6371000     		do = 167.79861563188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21442175--0.21437382) × cos(0.98899577) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54952914613819 × 6371000     		du = 167.80533560893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98902211)-sin(0.98899577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549507139548012-0.54952914613819)×R²
    abs(-0.21437382--0.21442175)×2.20065901779254e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20065901779254e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20065901779254e-05×40589641000000     		ar = 28159.2086265932m²