Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61061 / 41339
↖ ↑ ↗
← N 55.186709°
W 12.290955°		 ← 174.37 m → N 55.186709°
W 12.288208°		 →
↑
174.37 m
↓
↑
174.37 m
↓
N 55.185141°
W 12.290955°		 ← 174.38 m →
30 406 m²		 N 55.185141°
W 12.288208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465862274169922 y=0.315395355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465862274169922 × 217)
    floor (0.465862274169922 × 131072)
    floor (61061.5)     		tx = 61061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315395355224609 × 217)
    floor (0.315395355224609 × 131072)
    floor (41339.5)     		ty = 41339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61061 / 41339 ti = "17/61061/41339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61061/41339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61061 ÷ 217
    61061 ÷ 131072     		x = 0.465858459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41339 ÷ 217
    41339 ÷ 131072     		y = 0.315391540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465858459472656 × 2 - 1) × π
    -0.0682830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21451763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315391540527344 × 2 - 1) × π
    0.369216918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.1599291601065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21451763} λ = -0.21451763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1599291601065))-π/2
    2×atan(3.18970730958645)-π/2
    2×1.26699304766763-π/2
    2.53398609533526-1.57079632675     		φ = 0.96318977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21451763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.290955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96318977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.186709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61061 KachelY 41339 -0.21451763 0.96318977 -12.290955 55.186709
    Oben rechts KachelX + 1 61062 KachelY 41339 -0.21446969 0.96318977 -12.288208 55.186709
    Unten links KachelX 61061 KachelY + 1 41340 -0.21451763 0.96316240 -12.290955 55.185141
    Unten rechts KachelX + 1 61062 KachelY + 1 41340 -0.21446969 0.96316240 -12.288208 55.185141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96318977-0.96316240) × R
    2.7369999999971e-05 × 6371000     		dl = 174.374269999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96318977-0.96316240) × R
    2.7369999999971e-05 × 6371000     		dr = 174.374269999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21451763--0.21446969) × cos(0.96318977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570904040139628 × 6371000     		do = 174.368788928622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21451763--0.21446969) × cos(0.96316240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570926511155455 × 6371000     		du = 174.37565215526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96318977)-sin(0.96316240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570904040139628-0.570926511155455)×R²
    abs(-0.21446969--0.21451763)×2.24710158273078e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24710158273078e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24710158273078e-05×40589641000000     		ar = 30406.0286672765m²