Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61061 / 41150
↖ ↑ ↗
← N 55.481966°
W 12.290955°		 ← 173.07 m → N 55.481966°
W 12.288208°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
N 55.480410°
W 12.290955°		 ← 173.08 m →
29 960 m²		 N 55.480410°
W 12.288208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465862274169922 y=0.313953399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465862274169922 × 217)
    floor (0.465862274169922 × 131072)
    floor (61061.5)     		tx = 61061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313953399658203 × 217)
    floor (0.313953399658203 × 131072)
    floor (41150.5)     		ty = 41150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61061 / 41150 ti = "17/61061/41150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61061/41150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61061 ÷ 217
    61061 ÷ 131072     		x = 0.465858459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41150 ÷ 217
    41150 ÷ 131072     		y = 0.313949584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465858459472656 × 2 - 1) × π
    -0.0682830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21451763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313949584960938 × 2 - 1) × π
    0.372100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16898923413469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21451763} λ = -0.21451763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16898923413469))-π/2
    2×atan(3.21873760366738)-π/2
    2×1.26956965773598-π/2
    2.53913931547197-1.57079632675     		φ = 0.96834299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21451763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.290955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96834299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.481966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61061 KachelY 41150 -0.21451763 0.96834299 -12.290955 55.481966
    Oben rechts KachelX + 1 61062 KachelY 41150 -0.21446969 0.96834299 -12.288208 55.481966
    Unten links KachelX 61061 KachelY + 1 41151 -0.21451763 0.96831582 -12.290955 55.480410
    Unten rechts KachelX + 1 61062 KachelY + 1 41151 -0.21446969 0.96831582 -12.288208 55.480410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96834299-0.96831582) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96834299-0.96831582) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21451763--0.21446969) × cos(0.96834299) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566665598344491 × 6371000     		do = 173.074259706896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21451763--0.21446969) × cos(0.96831582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.566687984799076 × 6371000     		du = 173.081097106353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96834299)-sin(0.96831582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566665598344491-0.566687984799076)×R²
    abs(-0.21446969--0.21451763)×2.23864545846331e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23864545846331e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23864545846331e-05×40589641000000     		ar = 29959.758249512m²