Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6106 / 10162
↖ ↑ ↗
← S 39.673370°
W 45.834961°		 ← 1 880.53 m → S 39.673370°
W 45.812989°		 →
↑
1 880.34 m
↓
↑
1 880.34 m
↓
S 39.690281°
W 45.834961°		 ← 1 880.07 m →
3 535 604 m²		 S 39.690281°
W 45.812989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372711181640625 y=0.620269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372711181640625 × 214)
    floor (0.372711181640625 × 16384)
    floor (6106.5)     		tx = 6106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620269775390625 × 214)
    floor (0.620269775390625 × 16384)
    floor (10162.5)     		ty = 10162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6106 / 10162 ti = "14/6106/10162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6106/10162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6106 ÷ 214
    6106 ÷ 16384     		x = 0.3726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10162 ÷ 214
    10162 ÷ 16384     		y = 0.6202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79997098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79997098} λ = -0.79997098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755485538012085))-π/2
    2×atan(0.469782462103871)-π/2
    2×0.439182694055987-π/2
    0.878365388111975-1.57079632675     		φ = -0.69243094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79997098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69243094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.673370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6106 KachelY 10162 -0.79997098 -0.69243094 -45.834961 -39.673370
    Oben rechts KachelX + 1 6107 KachelY 10162 -0.79958749 -0.69243094 -45.812989 -39.673370
    Unten links KachelX 6106 KachelY + 1 10163 -0.79997098 -0.69272608 -45.834961 -39.690281
    Unten rechts KachelX + 1 6107 KachelY + 1 10163 -0.79958749 -0.69272608 -45.812989 -39.690281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69243094--0.69272608) × R
    0.000295139999999972 × 6371000     		dl = 1880.33693999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69243094--0.69272608) × R
    0.000295139999999972 × 6371000     		dr = 1880.33693999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79997098--0.79958749) × cos(-0.69243094) × R
    0.000383490000000042 × 0.769696353997196 × 6371000     		do = 1880.53351589523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79997098--0.79958749) × cos(-0.69272608) × R
    0.000383490000000042 × 0.769507900104354 × 6371000     		du = 1880.073082557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69243094)-sin(-0.69272608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769696353997196-0.769507900104354)×R²
    abs(-0.79958749--0.79997098)×0.000188453892841944×R²
    0.000383490000000042×0.000188453892841944×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188453892841944×40589641000000     		ar = 3535603.77760289m²