Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61059 / 32901
↖ ↑ ↗
← N 66.367251°
W 12.296448°		 ← 122.44 m → N 66.367251°
W 12.293701°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
N 66.366149°
W 12.296448°		 ← 122.44 m →
14 993 m²		 N 66.366149°
W 12.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465847015380859 y=0.251018524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465847015380859 × 217)
    floor (0.465847015380859 × 131072)
    floor (61059.5)     		tx = 61059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251018524169922 × 217)
    floor (0.251018524169922 × 131072)
    floor (32901.5)     		ty = 32901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61059 / 32901 ti = "17/61059/32901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61059/32901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61059 ÷ 217
    61059 ÷ 131072     		x = 0.465843200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32901 ÷ 217
    32901 ÷ 131072     		y = 0.251014709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465843200683594 × 2 - 1) × π
    -0.0683135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21461350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251014709472656 × 2 - 1) × π
    0.497970581054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.56442071910053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21461350} λ = -0.21461350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56442071910053))-π/2
    2×atan(4.77990522595403)-π/2
    2×1.36456168137732-π/2
    2.72912336275464-1.57079632675     		φ = 1.15832704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21461350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.296448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15832704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.367251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61059 KachelY 32901 -0.21461350 1.15832704 -12.296448 66.367251
    Oben rechts KachelX + 1 61060 KachelY 32901 -0.21456556 1.15832704 -12.293701 66.367251
    Unten links KachelX 61059 KachelY + 1 32902 -0.21461350 1.15830782 -12.296448 66.366149
    Unten rechts KachelX + 1 61060 KachelY + 1 32902 -0.21456556 1.15830782 -12.293701 66.366149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15832704-1.15830782) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15832704-1.15830782) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21461350--0.21456556) × cos(1.15832704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.400872744785029 × 6371000     		do = 122.43685472186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21461350--0.21456556) × cos(1.15830782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.400890352801604 × 6371000     		du = 122.442232663352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15832704)-sin(1.15830782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400872744785029-0.400890352801604)×R²
    abs(-0.21456556--0.21461350)×1.76080165743553e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76080165743553e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76080165743553e-05×40589641000000     		ar = 14992.7980382519m²