Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61058 / 57822
↖ ↑ ↗
← S 79.653695°
E155.401611°		 ← 109.70 m → S 79.653695°
E155.407104°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
S 79.654682°
E155.401611°		 ← 109.69 m →
12 034 m²		 S 79.654682°
E155.407104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931678771972656 y=0.882301330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931678771972656 × 216)
    floor (0.931678771972656 × 65536)
    floor (61058.5)     		tx = 61058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882301330566406 × 216)
    floor (0.882301330566406 × 65536)
    floor (57822.5)     		ty = 57822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61058 / 57822 ti = "16/61058/57822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61058/57822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61058 ÷ 216
    61058 ÷ 65536     		x = 0.931671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57822 ÷ 216
    57822 ÷ 65536     		y = 0.882293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931671142578125 × 2 - 1) × π
    0.86334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71226978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.76458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40202216616177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71226978} λ = 2.71226978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40202216616177))-π/2
    2×atan(0.0905346918689756)-π/2
    2×0.0902885444867653-π/2
    0.180577088973531-1.57079632675     		φ = -1.39021924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71226978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39021924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.653695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61058 KachelY 57822 2.71226978 -1.39021924 155.401611 -79.653695
    Oben rechts KachelX + 1 61059 KachelY 57822 2.71236565 -1.39021924 155.407104 -79.653695
    Unten links KachelX 61058 KachelY + 1 57823 2.71226978 -1.39023646 155.401611 -79.654682
    Unten rechts KachelX + 1 61059 KachelY + 1 57823 2.71236565 -1.39023646 155.407104 -79.654682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39021924--1.39023646) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dl = 109.708619999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39021924--1.39023646) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dr = 109.708619999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71226978-2.71236565) × cos(-1.39021924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179597306786627 × 6371000     		do = 109.695838510207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71226978-2.71236565) × cos(-1.39023646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179580366753526 × 6371000     		du = 109.685491745166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39021924)-sin(-1.39023646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179597306786627-0.179580366753526)×R²
    abs(2.71236565-2.71226978)×1.6940033101126e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6940033101126e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6940033101126e-05×40589641000000     		ar = 12034.0114983705m²