Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61058 / 34172
↖ ↑ ↗
← N 64.928198°
W 12.299195°		 ← 129.43 m → N 64.928198°
W 12.296448°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.927034°
W 12.299195°		 ← 129.43 m →
16 756 m²		 N 64.927034°
W 12.296448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465839385986328 y=0.260715484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465839385986328 × 217)
    floor (0.465839385986328 × 131072)
    floor (61058.5)     		tx = 61058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260715484619141 × 217)
    floor (0.260715484619141 × 131072)
    floor (34172.5)     		ty = 34172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61058 / 34172 ti = "17/61058/34172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61058/34172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61058 ÷ 217
    61058 ÷ 131072     		x = 0.465835571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34172 ÷ 217
    34172 ÷ 131072     		y = 0.260711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.068328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21466144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260711669921875 × 2 - 1) × π
    0.47857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50349291968344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21466144} λ = -0.21466144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50349291968344))-π/2
    2×atan(4.49737062156284)-π/2
    2×1.35200357653025-π/2
    2.70400715306051-1.57079632675     		φ = 1.13321083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21466144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.299195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13321083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.928198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61058 KachelY 34172 -0.21466144 1.13321083 -12.299195 64.928198
    Oben rechts KachelX + 1 61059 KachelY 34172 -0.21461350 1.13321083 -12.296448 64.928198
    Unten links KachelX 61058 KachelY + 1 34173 -0.21466144 1.13319051 -12.299195 64.927034
    Unten rechts KachelX + 1 61059 KachelY + 1 34173 -0.21461350 1.13319051 -12.296448 64.927034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13321083-1.13319051) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13321083-1.13319051) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21466144--0.21461350) × cos(1.13321083) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423753699822077 × 6371000     		do = 129.425287345886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21466144--0.21461350) × cos(1.13319051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42377210513252 × 6371000     		du = 129.430908801448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13321083)-sin(1.13319051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423753699822077-0.42377210513252)×R²
    abs(-0.21461350--0.21466144)×1.84053104435589e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84053104435589e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84053104435589e-05×40589641000000     		ar = 16755.5959092109m²