Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61057 / 34173
↖ ↑ ↗
← N 64.927034°
W 12.301941°		 ← 129.40 m → N 64.927034°
W 12.299195°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
N 64.925870°
W 12.301941°		 ← 129.41 m →
16 745 m²		 N 64.925870°
W 12.299195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465831756591797 y=0.260723114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465831756591797 × 217)
    floor (0.465831756591797 × 131072)
    floor (61057.5)     		tx = 61057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260723114013672 × 217)
    floor (0.260723114013672 × 131072)
    floor (34173.5)     		ty = 34173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61057 / 34173 ti = "17/61057/34173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61057/34173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61057 ÷ 217
    61057 ÷ 131072     		x = 0.465827941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34173 ÷ 217
    34173 ÷ 131072     		y = 0.260719299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465827941894531 × 2 - 1) × π
    -0.0683441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21470937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260719299316406 × 2 - 1) × π
    0.478561401367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.50344498278382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21470937} λ = -0.21470937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50344498278382))-π/2
    2×atan(4.49715503672607)-π/2
    2×1.35199341959038-π/2
    2.70398683918076-1.57079632675     		φ = 1.13319051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21470937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.301941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13319051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.927034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61057 KachelY 34173 -0.21470937 1.13319051 -12.301941 64.927034
    Oben rechts KachelX + 1 61058 KachelY 34173 -0.21466144 1.13319051 -12.299195 64.927034
    Unten links KachelX 61057 KachelY + 1 34174 -0.21470937 1.13317020 -12.301941 64.925870
    Unten rechts KachelX + 1 61058 KachelY + 1 34174 -0.21466144 1.13317020 -12.299195 64.925870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13319051-1.13317020) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13319051-1.13317020) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21470937--0.21466144) × cos(1.13319051) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.42377210513252 × 6371000     		do = 129.403910280644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21470937--0.21466144) × cos(1.13317020) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423790501210385 × 6371000     		du = 129.409527744325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13319051)-sin(1.13317020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42377210513252-0.423790501210385)×R²
    abs(-0.21466144--0.21470937)×1.83960778648018e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83960778648018e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83960778648018e-05×40589641000000     		ar = 16744.5837011645m²