Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61056 / 34176
↖ ↑ ↗
← N 64.923542°
W 12.304687°		 ← 129.45 m → N 64.923542°
W 12.301941°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.922378°
W 12.304687°		 ← 129.45 m →
16 759 m²		 N 64.922378°
W 12.301941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465824127197266 y=0.260746002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465824127197266 × 217)
    floor (0.465824127197266 × 131072)
    floor (61056.5)     		tx = 61056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260746002197266 × 217)
    floor (0.260746002197266 × 131072)
    floor (34176.5)     		ty = 34176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61056 / 34176 ti = "17/61056/34176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61056/34176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61056 ÷ 217
    61056 ÷ 131072     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34176 ÷ 217
    34176 ÷ 131072     		y = 0.2607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50330117208496))-π/2
    2×atan(4.49650834421912)-π/2
    2×1.35196294612457-π/2
    2.70392589224915-1.57079632675     		φ = 1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61056 KachelY 34176 -0.21475731 1.13312957 -12.304687 64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 61057 KachelY 34176 -0.21470937 1.13312957 -12.301941 64.923542
    Unten links KachelX 61056 KachelY + 1 34177 -0.21475731 1.13310925 -12.304687 64.922378
    Unten rechts KachelX + 1 61057 KachelY + 1 34177 -0.21470937 1.13310925 -12.301941 64.922378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13312957-1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13312957-1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21470937) × cos(1.13312957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 129.447767314726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21470937) × cos(1.13310925) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423845706509765 × 6371000     		du = 129.453388556558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13312957)-sin(1.13310925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423845706509765)×R²
    abs(-0.21470937--0.21475731)×1.84046106641578e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84046106641578e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84046106641578e-05×40589641000000     		ar = 16758.5061233743m²