Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61056 / 34174
↖ ↑ ↗
← N 64.925870°
W 12.304687°		 ← 129.44 m → N 64.925870°
W 12.301941°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.924706°
W 12.304687°		 ← 129.44 m →
16 757 m²		 N 64.924706°
W 12.301941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465824127197266 y=0.260730743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465824127197266 × 217)
    floor (0.465824127197266 × 131072)
    floor (61056.5)     		tx = 61056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260730743408203 × 217)
    floor (0.260730743408203 × 131072)
    floor (34174.5)     		ty = 34174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61056 / 34174 ti = "17/61056/34174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61056/34174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61056 ÷ 217
    61056 ÷ 131072     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34174 ÷ 217
    34174 ÷ 131072     		y = 0.260726928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260726928710938 × 2 - 1) × π
    0.478546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5033970458842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5033970458842))-π/2
    2×atan(4.49693946222353)-π/2
    2×1.35198326220949-π/2
    2.70396652441897-1.57079632675     		φ = 1.13317020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13317020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.925870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61056 KachelY 34174 -0.21475731 1.13317020 -12.304687 64.925870
    Oben rechts KachelX + 1 61057 KachelY 34174 -0.21470937 1.13317020 -12.301941 64.925870
    Unten links KachelX 61056 KachelY + 1 34175 -0.21475731 1.13314988 -12.304687 64.924706
    Unten rechts KachelX + 1 61057 KachelY + 1 34175 -0.21470937 1.13314988 -12.301941 64.924706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13317020-1.13314988) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13317020-1.13314988) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21470937) × cos(1.13317020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423790501210385 × 6371000     		do = 129.436527437143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21470937) × cos(1.13314988) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423808906170954 × 6371000     		du = 129.442148785844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13317020)-sin(1.13314988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423790501210385-0.423808906170954)×R²
    abs(-0.21470937--0.21475731)×1.84049605690406e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84049605690406e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84049605690406e-05×40589641000000     		ar = 16757.0510302269m²