Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61055 / 41329
↖ ↑ ↗
← N 55.202386°
W 12.307434°		 ← 174.30 m → N 55.202386°
W 12.304687°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
N 55.200818°
W 12.307434°		 ← 174.31 m →
30 383 m²		 N 55.200818°
W 12.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465816497802734 y=0.315319061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465816497802734 × 217)
    floor (0.465816497802734 × 131072)
    floor (61055.5)     		tx = 61055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315319061279297 × 217)
    floor (0.315319061279297 × 131072)
    floor (41329.5)     		ty = 41329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61055 / 41329 ti = "17/61055/41329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61055/41329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61055 ÷ 217
    61055 ÷ 131072     		x = 0.465812683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41329 ÷ 217
    41329 ÷ 131072     		y = 0.315315246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465812683105469 × 2 - 1) × π
    -0.0683746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21480525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315315246582031 × 2 - 1) × π
    0.369369506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1604085291027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21480525} λ = -0.21480525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1604085291027))-π/2
    2×atan(3.191236722925)-π/2
    2×1.26712985759063-π/2
    2.53425971518125-1.57079632675     		φ = 0.96346339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21480525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.307434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96346339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.202386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61055 KachelY 41329 -0.21480525 0.96346339 -12.307434 55.202386
    Oben rechts KachelX + 1 61056 KachelY 41329 -0.21475731 0.96346339 -12.304687 55.202386
    Unten links KachelX 61055 KachelY + 1 41330 -0.21480525 0.96343603 -12.307434 55.200818
    Unten rechts KachelX + 1 61056 KachelY + 1 41330 -0.21475731 0.96343603 -12.304687 55.200818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96346339-0.96343603) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dl = 174.310560000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96346339-0.96343603) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dr = 174.310560000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21480525--0.21475731) × cos(0.96346339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570679372155909 × 6371000     		do = 174.30016954344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21480525--0.21475731) × cos(0.96343603) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570701839234894 × 6371000     		du = 174.307031567665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96346339)-sin(0.96343603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570679372155909-0.570701839234894)×R²
    abs(-0.21475731--0.21480525)×2.24670789853443e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24670789853443e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24670789853443e-05×40589641000000     		ar = 30382.9582246504m²