Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61055 / 32893
↖ ↑ ↗
← N 66.376057°
W 12.307434°		 ← 122.39 m → N 66.376057°
W 12.304687°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 66.374956°
W 12.307434°		 ← 122.40 m →
14 980 m²		 N 66.374956°
W 12.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465816497802734 y=0.250957489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465816497802734 × 217)
    floor (0.465816497802734 × 131072)
    floor (61055.5)     		tx = 61055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250957489013672 × 217)
    floor (0.250957489013672 × 131072)
    floor (32893.5)     		ty = 32893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61055 / 32893 ti = "17/61055/32893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61055/32893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61055 ÷ 217
    61055 ÷ 131072     		x = 0.465812683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32893 ÷ 217
    32893 ÷ 131072     		y = 0.250953674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465812683105469 × 2 - 1) × π
    -0.0683746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21480525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250953674316406 × 2 - 1) × π
    0.498092651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.56480421429749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21480525} λ = -0.21480525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56480421429749))-π/2
    2×atan(4.78173864818195)-π/2
    2×1.36463853426257-π/2
    2.72927706852515-1.57079632675     		φ = 1.15848074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21480525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.307434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15848074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.376057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61055 KachelY 32893 -0.21480525 1.15848074 -12.307434 66.376057
    Oben rechts KachelX + 1 61056 KachelY 32893 -0.21475731 1.15848074 -12.304687 66.376057
    Unten links KachelX 61055 KachelY + 1 32894 -0.21480525 1.15846153 -12.307434 66.374956
    Unten rechts KachelX + 1 61056 KachelY + 1 32894 -0.21475731 1.15846153 -12.304687 66.374956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15848074-1.15846153) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dl = 122.386909998886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15848074-1.15846153) × R
    1.92099999998252e-05 × 6371000     		dr = 122.386909998886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21480525--0.21475731) × cos(1.15848074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.400731930293615 × 6371000     		do = 122.393846351546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21480525--0.21475731) × cos(1.15846153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.400749530332355 × 6371000     		du = 122.399221856402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15848074)-sin(1.15846153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400731930293615-0.400749530332355)×R²
    abs(-0.21475731--0.21480525)×1.76000387395181e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76000387395181e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76000387395181e-05×40589641000000     		ar = 14979.733604013m²