Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61054 / 83323
↖ ↑ ↗
← S 43.824620°
W 12.310180°		 ← 220.31 m → S 43.824620°
W 12.307434°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 43.826601°
W 12.310180°		 ← 220.30 m →
48 535 m²		 S 43.826601°
W 12.307434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465808868408203 y=0.635707855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465808868408203 × 217)
    floor (0.465808868408203 × 131072)
    floor (61054.5)     		tx = 61054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635707855224609 × 217)
    floor (0.635707855224609 × 131072)
    floor (83323.5)     		ty = 83323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61054 / 83323 ti = "17/61054/83323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61054/83323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61054 ÷ 217
    61054 ÷ 131072     		x = 0.465805053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83323 ÷ 217
    83323 ÷ 131072     		y = 0.635704040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465805053710938 × 2 - 1) × π
    -0.068389892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21485318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635704040527344 × 2 - 1) × π
    -0.271408081054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.852653633541939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21485318} λ = -0.21485318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852653633541939))-π/2
    2×atan(0.426282232897763)-π/2
    2×0.402956208747861-π/2
    0.805912417495722-1.57079632675     		φ = -0.76488391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21485318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.310180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76488391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.824620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61054 KachelY 83323 -0.21485318 -0.76488391 -12.310180 -43.824620
    Oben rechts KachelX + 1 61055 KachelY 83323 -0.21480525 -0.76488391 -12.307434 -43.824620
    Unten links KachelX 61054 KachelY + 1 83324 -0.21485318 -0.76491849 -12.310180 -43.826601
    Unten rechts KachelX + 1 61055 KachelY + 1 83324 -0.21480525 -0.76491849 -12.307434 -43.826601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76488391--0.76491849) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76488391--0.76491849) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21485318--0.21480525) × cos(-0.76488391) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721462749195594 × 6371000     		do = 220.307329663755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21485318--0.21480525) × cos(-0.76491849) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721438803730908 × 6371000     		du = 220.300017628049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76488391)-sin(-0.76491849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721462749195594-0.721438803730908)×R²
    abs(-0.21480525--0.21485318)×2.39454646865367e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39454646865367e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39454646865367e-05×40589641000000     		ar = 48534.9216966972m²