Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61053 / 83107
↖ ↑ ↗
← S 43.395069°
W 12.312927°		 ← 221.93 m → S 43.395069°
W 12.310180°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
S 43.397065°
W 12.312927°		 ← 221.93 m →
49 246 m²		 S 43.397065°
W 12.310180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465801239013672 y=0.634059906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465801239013672 × 217)
    floor (0.465801239013672 × 131072)
    floor (61053.5)     		tx = 61053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634059906005859 × 217)
    floor (0.634059906005859 × 131072)
    floor (83107.5)     		ty = 83107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61053 / 83107 ti = "17/61053/83107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61053/83107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61053 ÷ 217
    61053 ÷ 131072     		x = 0.465797424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83107 ÷ 217
    83107 ÷ 131072     		y = 0.634056091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465797424316406 × 2 - 1) × π
    -0.0684051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21490112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634056091308594 × 2 - 1) × π
    -0.268112182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.842299263224007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21490112} λ = -0.21490112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842299263224007))-π/2
    2×atan(0.430719047567931)-π/2
    2×0.406704742340574-π/2
    0.813409484681148-1.57079632675     		φ = -0.75738684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21490112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.312927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75738684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.395069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61053 KachelY 83107 -0.21490112 -0.75738684 -12.312927 -43.395069
    Oben rechts KachelX + 1 61054 KachelY 83107 -0.21485318 -0.75738684 -12.310180 -43.395069
    Unten links KachelX 61053 KachelY + 1 83108 -0.21490112 -0.75742167 -12.312927 -43.397065
    Unten rechts KachelX + 1 61054 KachelY + 1 83108 -0.21485318 -0.75742167 -12.310180 -43.397065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75738684--0.75742167) × R
    3.48300000000412e-05 × 6371000     		dl = 221.901930000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75738684--0.75742167) × R
    3.48300000000412e-05 × 6371000     		dr = 221.901930000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21490112--0.21485318) × cos(-0.75738684) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726633795847469 × 6371000     		do = 221.932664805705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21490112--0.21485318) × cos(-0.75742167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726609866326579 × 6371000     		du = 221.925356114079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75738684)-sin(-0.75742167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726633795847469-0.726609866326579)×R²
    abs(-0.21485318--0.21490112)×2.39295208896984e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39295208896984e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39295208896984e-05×40589641000000     		ar = 49246.4757492317m²