Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61053 / 57853
↖ ↑ ↗
← S 79.684234°
E155.374145°		 ← 109.39 m → S 79.684234°
E155.379639°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 79.685217°
E155.374145°		 ← 109.38 m →
11 958 m²		 S 79.685217°
E155.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931602478027344 y=0.882774353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931602478027344 × 216)
    floor (0.931602478027344 × 65536)
    floor (61053.5)     		tx = 61053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882774353027344 × 216)
    floor (0.882774353027344 × 65536)
    floor (57853.5)     		ty = 57853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61053 / 57853 ti = "16/61053/57853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61053/57853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61053 ÷ 216
    61053 ÷ 65536     		x = 0.931594848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57853 ÷ 216
    57853 ÷ 65536     		y = 0.882766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931594848632812 × 2 - 1) × π
    0.863189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71179041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882766723632812 × 2 - 1) × π
    -0.765533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40499425393822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71179041} λ = 2.71179041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40499425393822))-π/2
    2×atan(0.090266014282389)-π/2
    2×0.0900220447968482-π/2
    0.180044089593696-1.57079632675     		φ = -1.39075224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71179041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.374145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39075224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.684234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61053 KachelY 57853 2.71179041 -1.39075224 155.374145 -79.684234
    Oben rechts KachelX + 1 61054 KachelY 57853 2.71188629 -1.39075224 155.379639 -79.684234
    Unten links KachelX 61053 KachelY + 1 57854 2.71179041 -1.39076940 155.374145 -79.685217
    Unten rechts KachelX + 1 61054 KachelY + 1 57854 2.71188629 -1.39076940 155.379639 -79.685217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39075224--1.39076940) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dl = 109.326359999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39075224--1.39076940) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dr = 109.326359999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71179041-2.71188629) × cos(-1.39075224) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179072947766919 × 6371000     		do = 109.386975171314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71179041-2.71188629) × cos(-1.39076940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179056065118244 × 6371000     		du = 109.376662380384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39075224)-sin(-1.39076940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179072947766919-0.179056065118244)×R²
    abs(2.71188629-2.71179041)×1.68826486751372e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68826486751372e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68826486751372e-05×40589641000000     		ar = 11958.3160969864m²