Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61053 / 40413
↖ ↑ ↗
← N 56.612420°
W 12.312927°		 ← 168.08 m → N 56.612420°
W 12.310180°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
N 56.610909°
W 12.312927°		 ← 168.08 m →
28 249 m²		 N 56.610909°
W 12.310180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465801239013672 y=0.308330535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465801239013672 × 217)
    floor (0.465801239013672 × 131072)
    floor (61053.5)     		tx = 61053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308330535888672 × 217)
    floor (0.308330535888672 × 131072)
    floor (40413.5)     		ty = 40413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61053 / 40413 ti = "17/61053/40413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61053/40413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61053 ÷ 217
    61053 ÷ 131072     		x = 0.465797424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40413 ÷ 217
    40413 ÷ 131072     		y = 0.308326721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465797424316406 × 2 - 1) × π
    -0.0684051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21490112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308326721191406 × 2 - 1) × π
    0.383346557617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.20431872915467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21490112} λ = -0.21490112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20431872915467))-π/2
    2×atan(3.33448661555876)-π/2
    2×1.27943472723812-π/2
    2.55886945447625-1.57079632675     		φ = 0.98807313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21490112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.312927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98807313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.612420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61053 KachelY 40413 -0.21490112 0.98807313 -12.312927 56.612420
    Oben rechts KachelX + 1 61054 KachelY 40413 -0.21485318 0.98807313 -12.310180 56.612420
    Unten links KachelX 61053 KachelY + 1 40414 -0.21490112 0.98804675 -12.312927 56.610909
    Unten rechts KachelX + 1 61054 KachelY + 1 40414 -0.21485318 0.98804675 -12.310180 56.610909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98807313-0.98804675) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98807313-0.98804675) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21490112--0.21485318) × cos(0.98807313) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55029975436691 × 6371000     		do = 168.075709699319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21490112--0.21485318) × cos(0.98804675) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550321780609459 × 6371000     		du = 168.082437080749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98807313)-sin(0.98804675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55029975436691-0.550321780609459)×R²
    abs(-0.21485318--0.21490112)×2.20262425487672e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20262425487672e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20262425487672e-05×40589641000000     		ar = 28248.54226761m²