Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61052 / 83115
↖ ↑ ↗
← S 43.411034°
W 12.315674°		 ← 221.87 m → S 43.411034°
W 12.312927°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 43.413029°
W 12.315674°		 ← 221.87 m →
49 219 m²		 S 43.413029°
W 12.312927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465793609619141 y=0.634120941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465793609619141 × 217)
    floor (0.465793609619141 × 131072)
    floor (61052.5)     		tx = 61052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634120941162109 × 217)
    floor (0.634120941162109 × 131072)
    floor (83115.5)     		ty = 83115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61052 / 83115 ti = "17/61052/83115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61052/83115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61052 ÷ 217
    61052 ÷ 131072     		x = 0.465789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83115 ÷ 217
    83115 ÷ 131072     		y = 0.634117126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.06842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21494906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634117126464844 × 2 - 1) × π
    -0.268234252929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.842682758420967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21494906} λ = -0.21494906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842682758420967))-π/2
    2×atan(0.430553900550517)-π/2
    2×0.406565430410444-π/2
    0.813130860820889-1.57079632675     		φ = -0.75766547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21494906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75766547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.411034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61052 KachelY 83115 -0.21494906 -0.75766547 -12.315674 -43.411034
    Oben rechts KachelX + 1 61053 KachelY 83115 -0.21490112 -0.75766547 -12.312927 -43.411034
    Unten links KachelX 61052 KachelY + 1 83116 -0.21494906 -0.75770029 -12.315674 -43.413029
    Unten rechts KachelX + 1 61053 KachelY + 1 83116 -0.21490112 -0.75770029 -12.312927 -43.413029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75766547--0.75770029) × R
    3.4820000000102e-05 × 6371000     		dl = 221.83822000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75766547--0.75770029) × R
    3.4820000000102e-05 × 6371000     		dr = 221.83822000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21494906--0.21490112) × cos(-0.75766547) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726442341873051 × 6371000     		do = 221.874189833893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21494906--0.21490112) × cos(-0.75770029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726418412173983 × 6371000     		du = 221.866881087847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75766547)-sin(-0.75770029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726442341873051-0.726418412173983)×R²
    abs(-0.21490112--0.21494906)×2.39296990681703e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39296990681703e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39296990681703e-05×40589641000000     		ar = 49219.3646620416m²