Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61052 / 41140
↖ ↑ ↗
← N 55.497527°
W 12.315674°		 ← 173.01 m → N 55.497527°
W 12.312927°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
N 55.495971°
W 12.315674°		 ← 173.01 m →
29 937 m²		 N 55.495971°
W 12.312927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465793609619141 y=0.313877105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465793609619141 × 217)
    floor (0.465793609619141 × 131072)
    floor (61052.5)     		tx = 61052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313877105712891 × 217)
    floor (0.313877105712891 × 131072)
    floor (41140.5)     		ty = 41140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61052 / 41140 ti = "17/61052/41140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61052/41140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61052 ÷ 217
    61052 ÷ 131072     		x = 0.465789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41140 ÷ 217
    41140 ÷ 131072     		y = 0.313873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.06842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21494906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313873291015625 × 2 - 1) × π
    0.37225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16946860313089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21494906} λ = -0.21494906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16946860313089))-π/2
    2×atan(3.2202809365649)-π/2
    2×1.26970545187469-π/2
    2.53941090374938-1.57079632675     		φ = 0.96861458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21494906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96861458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.497527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61052 KachelY 41140 -0.21494906 0.96861458 -12.315674 55.497527
    Oben rechts KachelX + 1 61053 KachelY 41140 -0.21490112 0.96861458 -12.312927 55.497527
    Unten links KachelX 61052 KachelY + 1 41141 -0.21494906 0.96858742 -12.315674 55.495971
    Unten rechts KachelX + 1 61053 KachelY + 1 41141 -0.21490112 0.96858742 -12.312927 55.495971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96861458-0.96858742) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96861458-0.96858742) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21494906--0.21490112) × cos(0.96861458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5664418014451 × 6371000     		do = 173.005906373289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21494906--0.21490112) × cos(0.96858742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56646418383956 × 6371000     		du = 173.01274253268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96861458)-sin(0.96858742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5664418014451-0.56646418383956)×R²
    abs(-0.21490112--0.21494906)×2.23823944602852e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23823944602852e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23823944602852e-05×40589641000000     		ar = 29936.9037512613m²