Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61052 / 32892
↖ ↑ ↗
← N 66.377158°
W 12.315674°		 ← 122.39 m → N 66.377158°
W 12.312927°		 →
↑
122.39 m
↓
↑
122.39 m
↓
N 66.376057°
W 12.315674°		 ← 122.39 m →
14 979 m²		 N 66.376057°
W 12.312927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465793609619141 y=0.250949859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465793609619141 × 217)
    floor (0.465793609619141 × 131072)
    floor (61052.5)     		tx = 61052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250949859619141 × 217)
    floor (0.250949859619141 × 131072)
    floor (32892.5)     		ty = 32892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61052 / 32892 ti = "17/61052/32892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61052/32892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61052 ÷ 217
    61052 ÷ 131072     		x = 0.465789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32892 ÷ 217
    32892 ÷ 131072     		y = 0.250946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.06842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21494906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250946044921875 × 2 - 1) × π
    0.49810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56485215119711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21494906} λ = -0.21494906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56485215119711))-π/2
    2×atan(4.78196787540171)-π/2
    2×1.36464813897477-π/2
    2.72929627794955-1.57079632675     		φ = 1.15849995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21494906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15849995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.377158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61052 KachelY 32892 -0.21494906 1.15849995 -12.315674 66.377158
    Oben rechts KachelX + 1 61053 KachelY 32892 -0.21490112 1.15849995 -12.312927 66.377158
    Unten links KachelX 61052 KachelY + 1 32893 -0.21494906 1.15848074 -12.315674 66.376057
    Unten rechts KachelX + 1 61053 KachelY + 1 32893 -0.21490112 1.15848074 -12.312927 66.376057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15849995-1.15848074) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dl = 122.386910000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15849995-1.15848074) × R
    1.92100000000472e-05 × 6371000     		dr = 122.386910000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21494906--0.21490112) × cos(1.15849995) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.400714330106996 × 6371000     		do = 122.388470801524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21494906--0.21490112) × cos(1.15848074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.400731930293615 × 6371000     		du = 122.393846351546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15849995)-sin(1.15848074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400714330106996-0.400731930293615)×R²
    abs(-0.21490112--0.21494906)×1.76001866194486e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76001866194486e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76001866194486e-05×40589641000000     		ar = 14979.0757099359m²