Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61051 / 83327
↖ ↑ ↗
← S 43.832546°
W 12.318420°		 ← 220.28 m → S 43.832546°
W 12.315674°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 43.834527°
W 12.318420°		 ← 220.27 m →
48 528 m²		 S 43.834527°
W 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465785980224609 y=0.635738372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465785980224609 × 217)
    floor (0.465785980224609 × 131072)
    floor (61051.5)     		tx = 61051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635738372802734 × 217)
    floor (0.635738372802734 × 131072)
    floor (83327.5)     		ty = 83327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61051 / 83327 ti = "17/61051/83327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61051/83327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61051 ÷ 217
    61051 ÷ 131072     		x = 0.465782165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83327 ÷ 217
    83327 ÷ 131072     		y = 0.635734558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465782165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0684356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21499699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635734558105469 × 2 - 1) × π
    -0.271469116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.852845381140419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21499699} λ = -0.21499699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852845381140419))-π/2
    2×atan(0.426200502139419)-π/2
    2×0.402887043965081-π/2
    0.805774087930163-1.57079632675     		φ = -0.76502224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21499699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.318420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76502224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.832546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61051 KachelY 83327 -0.21499699 -0.76502224 -12.318420 -43.832546
    Oben rechts KachelX + 1 61052 KachelY 83327 -0.21494906 -0.76502224 -12.315674 -43.832546
    Unten links KachelX 61051 KachelY + 1 83328 -0.21499699 -0.76505682 -12.318420 -43.834527
    Unten rechts KachelX + 1 61052 KachelY + 1 83328 -0.21494906 -0.76505682 -12.315674 -43.834527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76502224--0.76505682) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76502224--0.76505682) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21499699--0.21494906) × cos(-0.76502224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721366955235355 × 6371000     		do = 220.278077825595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21499699--0.21494906) × cos(-0.76505682) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721343006319873 × 6371000     		du = 220.270764736147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76502224)-sin(-0.76505682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721366955235355-0.721343006319873)×R²
    abs(-0.21494906--0.21499699)×2.39489154821859e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39489154821859e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39489154821859e-05×40589641000000     		ar = 48528.4771322827m²