Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61051 / 83113
↖ ↑ ↗
← S 43.407043°
W 12.318420°		 ← 221.84 m → S 43.407043°
W 12.315674°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 43.409038°
W 12.318420°		 ← 221.84 m →
49 212 m²		 S 43.409038°
W 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465785980224609 y=0.634105682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465785980224609 × 217)
    floor (0.465785980224609 × 131072)
    floor (61051.5)     		tx = 61051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634105682373047 × 217)
    floor (0.634105682373047 × 131072)
    floor (83113.5)     		ty = 83113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61051 / 83113 ti = "17/61051/83113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61051/83113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61051 ÷ 217
    61051 ÷ 131072     		x = 0.465782165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83113 ÷ 217
    83113 ÷ 131072     		y = 0.634101867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465782165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0684356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21499699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634101867675781 × 2 - 1) × π
    -0.268203735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.842586884621727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21499699} λ = -0.21499699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842586884621727))-π/2
    2×atan(0.430595181367583)-π/2
    2×0.406600254951402-π/2
    0.813200509902805-1.57079632675     		φ = -0.75759582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21499699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.318420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75759582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.407043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61051 KachelY 83113 -0.21499699 -0.75759582 -12.318420 -43.407043
    Oben rechts KachelX + 1 61052 KachelY 83113 -0.21494906 -0.75759582 -12.315674 -43.407043
    Unten links KachelX 61051 KachelY + 1 83114 -0.21499699 -0.75763064 -12.318420 -43.409038
    Unten rechts KachelX + 1 61052 KachelY + 1 83114 -0.21494906 -0.75763064 -12.315674 -43.409038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75759582--0.75763064) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dl = 221.838219999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75759582--0.75763064) × R
    3.4819999999991e-05 × 6371000     		dr = 221.838219999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21499699--0.21494906) × cos(-0.75759582) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.726490205500639 × 6371000     		do = 221.8425239268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21499699--0.21494906) × cos(-0.75763064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.726466277563378 × 6371000     		du = 221.835217243304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75759582)-sin(-0.75763064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726490205500639-0.726466277563378)×R²
    abs(-0.21494906--0.21499699)×2.39279372616918e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39279372616918e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39279372616918e-05×40589641000000     		ar = 49212.340182514m²