Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61051 / 57936
↖ ↑ ↗
← S 79.765560°
E155.363159°		 ← 108.53 m → S 79.765560°
E155.368652°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 79.766536°
E155.363159°		 ← 108.52 m →
11 775 m²		 S 79.766536°
E155.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931571960449219 y=0.884040832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931571960449219 × 216)
    floor (0.931571960449219 × 65536)
    floor (61051.5)     		tx = 61051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884040832519531 × 216)
    floor (0.884040832519531 × 65536)
    floor (57936.5)     		ty = 57936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61051 / 57936 ti = "16/61051/57936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61051/57936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61051 ÷ 216
    61051 ÷ 65536     		x = 0.931564331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57936 ÷ 216
    57936 ÷ 65536     		y = 0.884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931564331054688 × 2 - 1) × π
    0.863128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71159866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71159866} λ = 2.71159866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41295177927515))-π/2
    2×atan(0.0895505705428017)-π/2
    2×0.0893123380021784-π/2
    0.178624676004357-1.57079632675     		φ = -1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71159866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.363159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61051 KachelY 57936 2.71159866 -1.39217165 155.363159 -79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 61052 KachelY 57936 2.71169454 -1.39217165 155.368652 -79.765560
    Unten links KachelX 61051 KachelY + 1 57937 2.71159866 -1.39218868 155.363159 -79.766536
    Unten rechts KachelX + 1 61052 KachelY + 1 57937 2.71169454 -1.39218868 155.368652 -79.766536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39217165--1.39218868) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39217165--1.39218868) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71159866-2.71169454) × cos(-1.39217165) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 108.533831715679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71159866-2.71169454) × cos(-1.39218868) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177659542411877 × 6371000     		du = 108.523594418347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39217165)-sin(-1.39218868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.177659542411877)×R²
    abs(2.71169454-2.71159866)×1.67590611915847e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67590611915847e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67590611915847e-05×40589641000000     		ar = 11775.1624190252m²