Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61051 / 41142
↖ ↑ ↗
← N 55.494416°
W 12.318420°		 ← 172.98 m → N 55.494416°
W 12.315674°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
N 55.492860°
W 12.318420°		 ← 172.99 m →
29 933 m²		 N 55.492860°
W 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465785980224609 y=0.313892364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465785980224609 × 217)
    floor (0.465785980224609 × 131072)
    floor (61051.5)     		tx = 61051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313892364501953 × 217)
    floor (0.313892364501953 × 131072)
    floor (41142.5)     		ty = 41142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61051 / 41142 ti = "17/61051/41142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61051/41142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61051 ÷ 217
    61051 ÷ 131072     		x = 0.465782165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41142 ÷ 217
    41142 ÷ 131072     		y = 0.313888549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465782165527344 × 2 - 1) × π
    -0.0684356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21499699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313888549804688 × 2 - 1) × π
    0.372222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16937272933165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21499699} λ = -0.21499699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16937272933165))-π/2
    2×atan(3.21997221079649)-π/2
    2×1.26967829733809-π/2
    2.53935659467617-1.57079632675     		φ = 0.96856027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21499699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.318420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96856027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.494416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61051 KachelY 41142 -0.21499699 0.96856027 -12.318420 55.494416
    Oben rechts KachelX + 1 61052 KachelY 41142 -0.21494906 0.96856027 -12.315674 55.494416
    Unten links KachelX 61051 KachelY + 1 41143 -0.21499699 0.96853311 -12.318420 55.492860
    Unten rechts KachelX + 1 61052 KachelY + 1 41143 -0.21494906 0.96853311 -12.315674 55.492860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96856027-0.96853311) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96856027-0.96853311) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21499699--0.21494906) × cos(0.96856027) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.566486557575449 × 6371000     		do = 172.983485188957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21499699--0.21494906) × cos(0.96853311) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.566508939134325 × 6371000     		du = 172.99031966721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96856027)-sin(0.96853311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566486557575449-0.566508939134325)×R²
    abs(-0.21494906--0.21499699)×2.23815588754617e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23815588754617e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23815588754617e-05×40589641000000     		ar = 29933.0239257873m²