Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61050 / 57875
↖ ↑ ↗
← S 79.705852°
E155.357666°		 ← 109.15 m → S 79.705852°
E155.363159°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 79.706833°
E155.357666°		 ← 109.14 m →
11 911 m²		 S 79.706833°
E155.363159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931556701660156 y=0.883110046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931556701660156 × 216)
    floor (0.931556701660156 × 65536)
    floor (61050.5)     		tx = 61050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883110046386719 × 216)
    floor (0.883110046386719 × 65536)
    floor (57875.5)     		ty = 57875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61050 / 57875 ti = "16/61050/57875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61050/57875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61050 ÷ 216
    61050 ÷ 65536     		x = 0.931549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57875 ÷ 216
    57875 ÷ 65536     		y = 0.883102416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931549072265625 × 2 - 1) × π
    0.86309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71150279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883102416992188 × 2 - 1) × π
    -0.766204833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4071034775215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71150279} λ = 2.71150279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4071034775215))-π/2
    2×atan(0.0900758237240116)-π/2
    2×0.089833388167332-π/2
    0.179666776334664-1.57079632675     		φ = -1.39112955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71150279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.357666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39112955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.705852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61050 KachelY 57875 2.71150279 -1.39112955 155.357666 -79.705852
    Oben rechts KachelX + 1 61051 KachelY 57875 2.71159866 -1.39112955 155.363159 -79.705852
    Unten links KachelX 61050 KachelY + 1 57876 2.71150279 -1.39114668 155.357666 -79.706833
    Unten rechts KachelX + 1 61051 KachelY + 1 57876 2.71159866 -1.39114668 155.363159 -79.706833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39112955--1.39114668) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39112955--1.39114668) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71150279-2.71159866) × cos(-1.39112955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178701723943743 × 6371000     		do = 109.148827462752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71150279-2.71159866) × cos(-1.39114668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178684869654082 × 6371000     		du = 109.138533068755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39112955)-sin(-1.39114668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178701723943743-0.178684869654082)×R²
    abs(2.71159866-2.71150279)×1.68542896609447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68542896609447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68542896609447e-05×40589641000000     		ar = 11911.4206494144m²