Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6105 / 6376
↖ ↑ ↗
← S 70.259452°
E 88.286133°		 ← 1 650.47 m → S 70.259452°
E 88.330078°		 →
↑
1 649.83 m
↓
↑
1 649.83 m
↓
S 70.274289°
E 88.286133°		 ← 1 649.28 m →
2 722 018 m²		 S 70.274289°
E 88.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74530029296875 y=0.77838134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74530029296875 × 213)
    floor (0.74530029296875 × 8192)
    floor (6105.5)     		tx = 6105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77838134765625 × 213)
    floor (0.77838134765625 × 8192)
    floor (6376.5)     		ty = 6376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6105 / 6376 ti = "13/6105/6376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6105/6376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6105 ÷ 213
    6105 ÷ 8192     		x = 0.7452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6376 ÷ 213
    6376 ÷ 8192     		y = 0.7783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    0.490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54088370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54088370} λ = 1.54088370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74873809813965))-π/2
    2×atan(0.173993367529675)-π/2
    2×0.172268779379758-π/2
    0.344537558759516-1.57079632675     		φ = -1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54088370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6105 KachelY 6376 1.54088370 -1.22625877 88.286133 -70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 6106 KachelY 6376 1.54165069 -1.22625877 88.330078 -70.259452
    Unten links KachelX 6105 KachelY + 1 6377 1.54088370 -1.22651773 88.286133 -70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 6106 KachelY + 1 6377 1.54165069 -1.22651773 88.330078 -70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22625877--1.22651773) × R
    0.00025896000000003 × 6371000     		dl = 1649.83416000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22625877--1.22651773) × R
    0.00025896000000003 × 6371000     		dr = 1649.83416000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54088370-1.54165069) × cos(-1.22625877) × R
    0.000766990000000023 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 1650.46904513117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54088370-1.54165069) × cos(-1.22651773) × R
    0.000766990000000023 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 1649.27794921718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22625877)-sin(-1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.337517694456332)×R²
    abs(1.54165069-1.54088370)×0.000243752696115762×R²
    0.000766990000000023×0.000243752696115762×6371000²
    0.000766990000000023×0.000243752696115762×40589641000000     		ar = 2722017.6705274m²