Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6105 / 10163
↖ ↑ ↗
← S 39.690281°
W 45.856934°		 ← 1 880.12 m → S 39.690281°
W 45.834961°		 →
↑
1 879.83 m
↓
↑
1 879.83 m
↓
S 39.707186°
W 45.856934°		 ← 1 879.66 m →
3 533 872 m²		 S 39.707186°
W 45.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372650146484375 y=0.620330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372650146484375 × 214)
    floor (0.372650146484375 × 16384)
    floor (6105.5)     		tx = 6105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620330810546875 × 214)
    floor (0.620330810546875 × 16384)
    floor (10163.5)     		ty = 10163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6105 / 10163 ti = "14/6105/10163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6105/10163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6105 ÷ 214
    6105 ÷ 16384     		x = 0.37261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10163 ÷ 214
    10163 ÷ 16384     		y = 0.62030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80035448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62030029296875 × 2 - 1) × π
    -0.2406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.755869033209045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80035448} λ = -0.80035448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755869033209045))-π/2
    2×atan(0.469602337326739)-π/2
    2×0.439035124695767-π/2
    0.878070249391533-1.57079632675     		φ = -0.69272608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80035448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.856934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69272608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.690281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6105 KachelY 10163 -0.80035448 -0.69272608 -45.856934 -39.690281
    Oben rechts KachelX + 1 6106 KachelY 10163 -0.79997098 -0.69272608 -45.834961 -39.690281
    Unten links KachelX 6105 KachelY + 1 10164 -0.80035448 -0.69302114 -45.856934 -39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 6106 KachelY + 1 10164 -0.79997098 -0.69302114 -45.834961 -39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69272608--0.69302114) × R
    0.000295060000000014 × 6371000     		dl = 1879.82726000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69272608--0.69302114) × R
    0.000295060000000014 × 6371000     		dr = 1879.82726000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80035448--0.79997098) × cos(-0.69272608) × R
    0.000383499999999981 × 0.769507900104354 × 6371000     		do = 1880.12210790502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80035448--0.79997098) × cos(-0.69302114) × R
    0.000383499999999981 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 1879.66162366132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69272608)-sin(-0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769507900104354-0.769319430290659)×R²
    abs(-0.79997098--0.80035448)×0.000188469813695358×R²
    0.000383499999999981×0.000188469813695358×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188469813695358×40589641000000     		ar = 3533872.00079071m²