Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61049 / 57930
↖ ↑ ↗
← S 79.759702°
E155.352173°		 ← 108.58 m → S 79.759702°
E155.357666°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 79.760679°
E155.352173°		 ← 108.57 m →
11 794 m²		 S 79.760679°
E155.357666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931541442871094 y=0.883949279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931541442871094 × 216)
    floor (0.931541442871094 × 65536)
    floor (61049.5)     		tx = 61049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883949279785156 × 216)
    floor (0.883949279785156 × 65536)
    floor (57930.5)     		ty = 57930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61049 / 57930 ti = "16/61049/57930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61049/57930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61049 ÷ 216
    61049 ÷ 65536     		x = 0.931533813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57930 ÷ 216
    57930 ÷ 65536     		y = 0.883941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931533813476562 × 2 - 1) × π
    0.863067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71140692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.76788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41237653647971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71140692} λ = 2.71140692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41237653647971))-π/2
    2×atan(0.0896020986825087)-π/2
    2×0.0893634559753612-π/2
    0.178726911950722-1.57079632675     		φ = -1.39206941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71140692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39206941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.759702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61049 KachelY 57930 2.71140692 -1.39206941 155.352173 -79.759702
    Oben rechts KachelX + 1 61050 KachelY 57930 2.71150279 -1.39206941 155.357666 -79.759702
    Unten links KachelX 61049 KachelY + 1 57931 2.71140692 -1.39208646 155.352173 -79.760679
    Unten rechts KachelX + 1 61050 KachelY + 1 57931 2.71150279 -1.39208646 155.357666 -79.760679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39206941--1.39208646) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39206941--1.39208646) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71140692-2.71150279) × cos(-1.39206941) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177776913802171 × 6371000     		do = 108.583964738708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71140692-2.71150279) × cos(-1.39208646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177760135368936 × 6371000     		du = 108.573716676888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39206941)-sin(-1.39208646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177776913802171-0.177760135368936)×R²
    abs(2.71150279-2.71140692)×1.67784332349707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67784332349707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67784332349707e-05×40589641000000     		ar = 11794.4362902962m²