Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61048 / 57880
↖ ↑ ↗
← S 79.710759°
E155.346680°		 ← 109.11 m → S 79.710759°
E155.352173°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 79.711740°
E155.346680°		 ← 109.10 m →
11 907 m²		 S 79.711740°
E155.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931526184082031 y=0.883186340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931526184082031 × 216)
    floor (0.931526184082031 × 65536)
    floor (61048.5)     		tx = 61048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883186340332031 × 216)
    floor (0.883186340332031 × 65536)
    floor (57880.5)     		ty = 57880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61048 / 57880 ti = "16/61048/57880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61048/57880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61048 ÷ 216
    61048 ÷ 65536     		x = 0.9315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57880 ÷ 216
    57880 ÷ 65536     		y = 0.8831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9315185546875 × 2 - 1) × π
    0.863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71131104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71131104} λ = 2.71131104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4075828465177))-π/2
    2×atan(0.0900326545146281)-π/2
    2×0.0897905662338147-π/2
    0.179581132467629-1.57079632675     		φ = -1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71131104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61048 KachelY 57880 2.71131104 -1.39121519 155.346680 -79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 61049 KachelY 57880 2.71140692 -1.39121519 155.352173 -79.710759
    Unten links KachelX 61048 KachelY + 1 57881 2.71131104 -1.39123232 155.346680 -79.711740
    Unten rechts KachelX + 1 61049 KachelY + 1 57881 2.71140692 -1.39123232 155.352173 -79.711740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39121519--1.39123232) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39121519--1.39123232) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71131104-2.71140692) × cos(-1.39121519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 109.108740900622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71131104-2.71140692) × cos(-1.39123232) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178600607258602 × 6371000     		du = 109.098445272744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39121519)-sin(-1.39123232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178600607258602)×R²
    abs(2.71140692-2.71131104)×1.68545517445773e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68545517445773e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68545517445773e-05×40589641000000     		ar = 11907.0457253895m²